基于貝葉斯網絡模型的統計學課程體系研究

劉杰　趙家楊　胡太忠　楊鋒

［摘 要］ 課程體系建設是保障高等教育人才培養質量的基礎工作之一，一直是教育界廣泛關注的熱點問題。為了更加科學地優化統計學本科課程體系，文章基于Z校統計學專業本科生的課程成績數據，借助貝葉斯網絡模型對數據進行分析，得到統計學課程體系的網絡結構，對比分析Z校統計學培養方案所列的課程體系，提出統計學課程體系的構建原則，并給出進一步優化課程體系的參考意見。

［關鍵詞］統計學；本科課程體系；貝葉斯網絡模型

［中圖分類號］ G642.3 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 2095-3437（2023）03-0031-04

引言

課程體系是指諸多課程相互聯系而構成的網絡整體[1]，最早可追溯至19世紀的德國，主要以學分制為教學管理制度。課程體系研究主要關注兩方面的內容，一是實現人才培養目標需要考慮哪些教學內容或課程，二是如何科學合理地設置和銜接這些課程。課程體系的建設是人才培養質量的保證，也是社會經濟發展的基石。本文以統計學專業為例，探討如何在已有課程體系的基礎上優化課程設置。

統計學是研究如何有效地收集、整理和分析數據，并為決策提供科學依據的一門學科，也是與其他科技領域交叉較強的學科之一，其應用基本涵蓋了工農業生產、經濟管理、自然科學研究等領域。統計學專業的人才培養定位是要求學生掌握扎實的數理基礎，深入了解概率統計專業的理論和方法，同時能嫻熟地利用計算機分析數據，既能從事科研教學工作，又能在企事業單位從事統計數據分析等應用開發工作。隨著近十年大數據技術的快速發展，我國對統計學人才的需求更是呈現“井噴”式增長，這就迫切需要高校構建“深基礎、寬領域、高視野”的統計學課程體系[2]。

2011年，國務院學位委員會和教育部批準印發了《學位授予和人才培養學科目錄（2011）》，統計學由此上升為一級學科。在此背景下，國內高校根據自身特色，參考世界知名高校成熟的統計學培養方案[3]，設置了符合自身發展特點的課程體系，但仍需在教學過程中不斷地對其進行探索和優化。近年來，學界在建立完善統計學課程體系的研究中取得了一系列卓越的成果。例如，利用多元統計分析方法，從成績分析的角度建立課程體系的量化評價模式[4]；強化實踐教學內容、探索實踐教學新模式對統計學課程體系的完善具有的指導意義[5]。然而，學界關于統計學課程體系的設置存在以下兩點共性問題[6-7]。一是研究內容以定性分析為主，主要通過梳理國內外高校統計學課程體系設置的歷史和現狀，結合專家經驗定性給出建議，但借助定量方法來討論的并不多見。二是多從教學的角度考慮課程體系的設置，較少從學生學習效果的角度來衡量課程體系的合理性。

針對上述問題，本研究以“雙一流”高校Z校為例，對統計學課程體系進行研究。該校統計學是國家重點學科，其課程體系在國內高校中具有較強的示范性，與同屬第4輪學科專業評估A類的多個高校存在諸多共同特點，均以培養學生具備扎實的數理基礎、牢固掌握專業技能知識以及具備良好編程能力為目標，分多類課程進行授課，課程先后銜接關系也大體一致。

本研究基于Z校統計學專業本科生的課程成績數據，借助貝葉斯網絡模型對數據進行分析，得到課程影響關系的網絡拓撲結構，即課程體系結構。將其與Z校統計學培養方案中的課程體系進行對比，發現Z校原有統計學課程設置具有一定的合理性，但也存在一些有待改進的問題。本研究結合高校課程體系的構建原則，為進一步完善統計學課程體系的設置提出一些參考建議。

一、研究設計

（一） 數據來源

課程成績數據來自Z校2010—2020學年統計學專業521名本科生的16門課程成績。這些課程包含了通修課、學科群基礎課、專業核心課和專業方向課四類，各類課程間存在層次依賴關系。Z校統計學人才培養方案結合教學培養經驗、課程內容以及課程類別間的銜接關系，形成了統計學課程體系網絡，具體的課程名稱、課程類別以及課程間的影響關系如圖1所示，其中箭頭方向表示課程間的影響方向。

為保證數據分析的可靠性和準確性，項目組對原始數據進行了異常值處理。考慮到部分學生存在缺考、重修刷分以及個性化選課等情況，數據存在缺失值、重復值以及噪聲值，項目組在剔除這些異常值之后，整理得到16門課程的樣本數據。

（二）研究方法

貝葉斯網絡是目前不確定知識表達和推理領域最有效的機器學習模型之一，它能夠用圖論的形式直觀地描述數據中的影響關系。貝葉斯網絡中每一個節點代表一個隨機變量，節點之間的影響關系通過有向邊來連接，有向邊的箭頭所指方向為節點之間影響關系的方向，相連節點之間的影響程度通過條件概率分布來呈現。設貝葉斯網絡中的節點集為[V={V1，V2， …， Vn}]，[E]是由[V]中不同節點的有序對構成的集合，其中的元素稱為有向邊。[G=V， E]為節點之間影響關系的有向無環圖，又稱為貝葉斯網絡結構；[Θ={θ1， θ2，…， θn}]為每個節點在其父節點集下的條件概率表，又稱為貝葉斯網絡參數。貝葉斯網絡[N]可表示為二元組[N=（G，Θ）]。在貝葉斯課程網絡中，可將課程視為節點，課程之間的影響關系可用有向邊來呈現。

確定課程網絡的結構即確定課程網絡的有向無環圖[G]，貝葉斯網絡模型中現有的結構學習算法主要有三類[8]，第一類是基于約束的算法，該類方法通過判斷節點之間的條件獨立性來確定是否有邊以及邊的方向，代表性的有MMPC（Max-Min Parents and Children）算法等，該類算法在數據量足夠多時，才能得到較為可信的網絡結構；第二類是基于評分的算法，該類算法采用常見的AIC、BIC準則對網絡結構進行評分，評分最高的即為最后得到的網絡結構，代表性的有爬山算法等，該類算法在節點數較多時，會極大地增加計算時間；第三類是混合算法，該類算法在結合上述兩類算法的同時，克服了它們的缺點，是當前貝葉斯網絡模型結構學習的主流算法，代表性的有MMHC（Max-Min Hill-Climbing）算法等。MMHC算法的核心思想是先利用MMPC算法得到貝葉斯網絡中每個節點的候選父子節點集，從而確定初始的貝葉斯網絡結構，然后基于初始的網絡結構，利用爬山算法確定節點間的邊及方向。

二、實證分析

為探究課程之間的影響關系，本研究基于成績數據分析了16門課程成績的分布特點、相關性以及網絡結構。在描述性統計分析中，重點關注課程成績的分布特點，為借助貝葉斯網絡模型確定課程體系的網絡結構做鋪墊；在相關性分析中，發現課程成績之間存在緊密聯系，可基于此使用網絡結構來描述課程之間的影響關系；最后基于描述性統計分析和相關性分析的結果，借助貝葉斯網絡分析中的MMHC算法確定16門課程的網絡結構。

（一） 課程成績分布特征

結合統計量深入分析成績數據的分布特點，考慮到數學分析、概率論、隨機過程和非參數統計這4門課程成績的均值、標準差、中位數、偏度和峰度，同時，4門課程成績與其他課程成績類似，故本研究以這4門課程為例。這些統計量能在一定程度上體現原有課程體系下的教學質量，包括學生學習效果的差異，能反映原有課程體系的合理性。

課程成績的描述性統計量如表1所示。首先，這4門課程的成績均值和中位數呈遞減趨勢，表明學生在學完通修課進入后續類別的課程學習階段時，總體學習效果有所下降；其次，4門課程成績的標準差呈遞增趨勢，說明學生在這個過程中學習效果更容易出現差異和分化；最后，課程成績的偏度均為負數，峰度均顯著偏離3，其中偏度呈現的是分布形狀的對稱性，峰度呈現的則是分布形態的陡峭程度，正態分布的偏度和峰度分別為0和3，因此進一步驗證了這些課程的成績數據不服從正態分布。

（二） 課程成績間相關性分析

對16門課程的成績進行相關性分析是為了進一步探究課程之間的影響關系。簡單相關分析可以衡量不同課程的成績之間是否存在線性相關關系。本研究用餅圖和單元格的形式展示了16門課程成績的相關系數矩陣，如圖2所示，其中黑色表示正相關，且顏色越深，扇形面積越大，正相關程度就越大。例如，概率論和數理統計之間的餅圖顏色明顯深于概率論和非參數統計之間的餅圖顏色，在現實教學中，概率論和數理統計之間確實存在更加緊密的相關關系。另外由圖2可知，四類課程的成績之間呈不同程度的正相關，相鄰類課程之間的相關性明顯，并且每一類課程成績之間的相關性較為顯著，由此說明可以用網絡結構來呈現課程之間的影響關系。

（三） 貝葉斯網絡模型分析

利用貝葉斯網絡模型從成績分析的角度來探究課程之間的影響關系。由于16門課程的成績不是正態分布，不能直接使用連續型的貝葉斯網絡模型進行分析，需要對每一門課程的成績進行離散化處理[9]。具體為將每一門課程的成績按照4個成績分位數分成5個區間[Ij=[（j-1）/5分位數， j/5分位數]， j=1，…，5]，分別對應5個等級。由此將連續型的成績數據轉化成5值型的離散數據。接著利用MMHC算法分析課程之間的網絡影響關系，得到基于成績分析的統計學課程體系（貝葉斯網絡圖），如圖3所示。

對比Z校原有的統計學課程體系圖（經驗圖）和基于成績分析的統計學課程體系圖（貝葉斯網絡圖），能夠定量驗證經驗圖和貝葉斯網絡圖的課程類別間存在相似的層次影響關系，同時還發現兩者的樞紐課程基本相同，但兩者的部分課程之間的銜接關系存在明顯差別。以下為對兩者進行總結對比分析的結果。

1.定量驗證課程類別間的影響關系

貝葉斯網絡圖和經驗圖的課程類別間影響關系的相同之處在于，兩者的四類課程之間均呈現“從左至右”的層次影響關系，并且四類課程別之間的影響關系主要體現在相鄰課程類別之間（課程類別之間是否相鄰取決于它們的修讀順序是否相近），說明了課程分類和分層的設置確實具有科學性；兩者的不同之處在于經驗圖中的通修課只影響與其相鄰的學科群基礎課，而貝葉斯網絡圖中的通修課不僅會影響學科群基礎課，還會影響后續的專業方向課。兩者在課程類別間影響關系的這些異同點，啟發高校教師應重視借助定量方法來挖掘課程體系中課程類別之間的影響關系。

2.準確識別課程體系中的樞紐課程

樞紐課程是指在課程體系中同時對其他多門課程產生影響的課程，在整個課程體系中往往起到關鍵作用。在課程網絡體系中，如果一門課程有至少兩條有向邊指向其他課程，那么就將這門課程定義為樞紐課程。識別樞紐課程對教師的教學過程具有重要的指導意義，同時也能夠讓學生在眾多課程學習中做到有的放矢。不難看出，經驗圖和貝葉斯網絡圖的樞紐課程均包括數學分析、實分析、概率論和數理統計。這4門課程來自通修課和學科群基礎課，其中的數學分析、實分析中的微積分理論是概率統計的重要理論基礎，對后續專業課的學習有著不可忽視的支撐作用。而數學分析、概率論和數理統計這3門課程的內容也在統計學專業考研科目中占有很大的比重。

3.深入挖掘研究課程之間的銜接關系

通過對比發現，經驗圖和貝葉斯網絡圖的部分課程之間的銜接關系存在比較明顯的差異。例如，經驗圖中的計算機程序設計和實用統計軟件是互不影響的，而貝葉斯網絡圖中計算機程序設計會影響實用統計軟件。實際上，統計學常用的編程軟件（R、Python等）會受到與之聯系密切的計算機類基礎課的影響。再如經驗圖中的實分析和復分析是平行關系，而貝葉斯網絡圖中實分析會影響復分析等。事實上，復分析和實分析的內容框架存在高度的相似性。由于這些課程之間銜接關系的差異性，有必要深入探討課程內容的相似性，結合課程設置來綜合考慮課程之間的銜接關系。

三、關于統計學課程體系的優化建議

基于前文的分析結果，結合統計學課程體系研究的最新成果，本研究提出了統計學課程體系的構建原則，并就進一步優化課程體系給出參考意見。

（一）定性與定量相結合的原則

統計學課程體系的構建是一個整體性工程，需要兼顧學科培養目標、社會崗位需求以及課程銜接等多方面的因素，不僅要結合專家的定性研究，還要借助對教學數據的定量分析來構建更加科學合理的課程體系。高校在制訂培養方案、構建課程體系時，不應拘泥于傳統的教學體系框架，而應借助定量分析手段（如網絡自回歸模型、貝葉斯網絡模型等）對相關用人企業提供的數據和教學過程中產生的數據進行分析，同時，可結合專家和學生的反饋意見，適時對課程體系做出動態調整。

（二）課程體系的系統性原則

課程體系的系統性原則要求其中的課程須保持層次性和緊密性，以確保專業培養目標的集中統一。首先，應根據課程領域、課程結構以及課程功能等分類標準將課程分為幾大類，在實現課程模塊化的同時，進一步確定課程類別間的層次關系；其次，應結合專家經驗和定量分析手段來確定每一類課程的樞紐課程，并將研討型的教學模式以及嚴格的質量監控評教體系引入樞紐課程，以保證高水平的教學質量；最后，深入研討樞紐課程和其他課程之間的影響關系，并根據課程之間影響關系的特點，對那些與其他課程沒有影響關系且與統計學專業培養目標關系不大的非樞紐課程進行刪減或壓縮其學時學分，以確保課程體系的緊密性。

（三）課程銜接的科學性原則

課程銜接的科學性原則體現在圍繞高校辦學特色，基于學位要求，對不同課程內容進行連接，使其相輔相成，以達到發揮課程體系最大教學成效的目的。首先，依照高校辦學特色對課程之間的邏輯關系進行分析，依托特色課程來強化課程體系與辦學特色的內在關聯性；其次，基于人才培養定位的具體要求來設置課程并做好課程間的銜接，通過緊密聯系的課程鏈，逐步加大課程難度來培養學生的學習思考能力；最后，組織各門課程的負責人做好課程規劃，明確各門課程的知識要點、講授程度以及授課要求，確保各門課程教師講授自己該講授的內容，并在此基礎上結合定性和定量的分析手段深入研究課程之間的銜接關系，形成初步的課程網絡體系，為后續進一步完善課程體系提供參考。

四、結語

高等教育的學科質量建設是高校亟須解決的根本性問題，統計學作為一門與時俱進的應用交叉型學科，與數學、計算機、人工智能等學科的深度融合已成為數據科學領域教學的熱點方向。因此，科學合理地設置統計學課程體系對數據科學領域人才的培養具有重要意義。本研究從課程成績的角度出發來探究統計學教育的建設和發展情況，借助貝葉斯網絡模型，構建得到基于成績分析的統計學課程體系，結合基于定性分析的統計學課程體系特點，提出了優化課程體系的構建原則，并給出了進一步優化課程體系的若干建議，為提高統計學科的人才培養質量提供了參考方向。

［ 參 考 文 獻 ］

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[6］ 曾守楨，蘇為華，張崇輝.統計學類本科專業課程體系的國際比較：基于1072個專業的文本挖掘分析[J].統計研究，2020，37（10）：52-65.

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［責任編輯：蘇祎穎］