“三角形的內角和”教學中的“變教為學”

張瑩

［摘 要］“變教為學”已成為新的教學潮流受到熱捧，但是很多時候卻被誤讀和曲解，教師只是從形式上削弱了教學行為，單純增加操作活動量，卻不放手讓學生自主學習。真正的“變教為學”應該是教師科學設計操作活動，充分發揮學生的主觀能動性，激發學生的好奇心和探究欲，引導學生自主發現、總結規律。

［關鍵詞］三角形的內角和；變教為學；角度

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）02-0056-03

“三角形的內角和”這一知識點在小學教材和初中教材里均有編排。這一定理的完整表述應當是“平面上任意三角形的內角和都是180°”，“平面上”這個大前提非常必要，且凸顯出數學的嚴謹性，一旦這個前提條件有變，那么結論將會不同，比如球面上的三角形的內角和大于180°。

一、追尋數學歷史的腳印

科學史籍上最早關于“三角形的內角和”的記載出現在古希臘歐幾里德著述的《原本》第三十二個命題中。這個命題主要包括兩個結論，第一個結論是“任意三角形的一個外角等于與其不相鄰的兩個內角之和”，第二個結論是“三角形三個內角之和可以換算成兩個直角”。原文之所以這樣晦澀，是因為當時還沒有“度”這個計量單位，數學界通行的辦法是用直角和平角作為度量標準，來測量一切幾何角度，角的兩條邊張開程度小于直角的角一律稱為銳角，角的兩條邊張開程度大于直角的角一律稱為鈍角，比平角小的角一律稱為劣角，比平角大的角一律稱為優角。

17世紀法國數學家布萊茲·帕斯卡12歲時，在用小棒拼擺出各種幾何圖形的過程中，無意間證明了《原本》中的命題結論之一：三角形三個內角之和可以換算成兩個直角。他的父親知道后非常驚訝，于是將《原本》推薦給他閱讀，帕斯卡很快就無師自通。

在我國小學數學教學中，有時會提到這個經典故事，目的就是為了體現數學的歷史文化性。但是有些學生會誤將帕斯卡當作“三角形的內角和是180°”這個結論的首創者。這一內容一般出現在四年級或五年級教材中，學生的年紀與當時證明出“三角形三個內角之和可以換算成兩個直角”的帕斯卡相當，因此教師一般會順水推舟，借此故事激勵學生上進。其實，帕斯卡的過人之處不僅在于能證實這個結論，更在于他對數學的癡迷和熱愛，他即使在擺弄小棒，也不忘思考問題，這樣的精神值得學生學習。

“變教為學”的前提是要激發學生的興趣。當學生對一件事漠不關心或者對某個知識態度冷淡時，是不可能“變教為學”的，教師一個勁地教，而學生則是勉勉強強地學。對于三角形內角和定理，通過設置懸念，是可以在一定程度上激起學生的學習興趣的，但這個定理沒什么趣味性，也很難據此設計出好玩的情境，因此，學生對此的態度還是不冷不熱。而通過對三角形內角和定理歷史故事的追溯，可以極大激發學生的興趣，尤其是帕斯卡的故事，更是能激起學生的斗志，他們會按捺不住內心的敬佩和沖動，試圖去看看這個定理到底有多簡單，才能被一個12歲的孩子破解，說不定自己也能做到。再加上對歷史進行考究，發現由于當時沒有“度”這個單位，最早的三角形內角和定理與當今教材的表述不太一樣，學生就會急于想知道那時的內角和定理的真面貌。

二、用任務驅動激發學生的主動性

人教版教材中設計了兩個學習任務（如圖1）。

任務一：畫出幾個不同的三角形，算出各個三角形的內角和。

任務二：先將一個三角形的三個內角剪下來，再拼到一起，觀察拼成了什么角。

這兩個任務有一個共同點：直接告知操作流程和步驟。各環節都已經設計好了規定動作，這樣牽著學生走，會使學生喪失創造力和獨立思考精神。另外，這兩個任務都是直接將探究目標和盤托出，結論“三角形的內角和是180°”會一直縈繞在學生腦海，學生不能在運動與變化中發現不變因素，“三角形的內角和是180°”這一結論的科學性和可靠性就會被淡化。實際上，“平面上任意三角形的內角和是180°”中的“任意”二字已經暗含了這一結論的客觀性、科學性和普遍性。客觀性指結論是真真切切存在的；科學性指結論是基于邏輯推理得出的，蘊含著某種事物的內部規律；普遍性指結論沒有例外，強化了這一結論的本質屬性。

這一結論從本質上應該一分為二。

結論一：平面上任意三角形的內角和為定值。這樣的描述給三角形內角和定性，無論什么樣的三角形，其內角和都是一個定量。然后，追問這個定量是多少就順理成章了，可以順水推舟得出定量描述。

結論二：這個定值是180°。這屬于板上釘釘的定理，這是對客觀規律的描述。

對于已經客觀存在的規律，得出結論本質上是發現的過程，而不是發明。發現過程的關鍵思路是觀察、對比、歸納。觀察之前需要確定對象與動機，也就是思考“觀察什么”和“為什么觀察”等問題。根據觀察到的現象初步得出的結論可以稱為猜想，猜想往往是憑借直覺得出的，有時是錯誤的，后續要對猜想進行反復驗證，直到得出科學合理而且經得起質疑和考驗的結論，最后就是對結論的拓展與應用。

例如，在構建“對象與動機”一環中，教師設計了一個活動：隨意畫一個三角形，盡量放大其中一個內角，觀察這個三角形的內角是怎么樣的；再畫一個三角形，盡量縮小其中兩個內角，觀察這個三角形的內角是怎么樣的。

學生經過對比發現，如果三角形中的一個內角非常大，另外兩個內角就非常??；一個內角再大也不會等于或大于180°。學生通過操作獲得神奇有趣的發現，產生強烈的好奇心和探究欲，這種好奇心和探秘欲望會使學生一步步深入鉆研知識。當學生感受到三個內角“此消彼長”的現象時，可能會將其遷移到加法運算中的和不變定律。與此同時，學生也可能猜到，三角形的內角和為定值，是固定不變的，這樣就確立了下一步探究的目標。

“變教為學”主要強調學生的主動性，如果教師過多干涉，或者一開始就將結論和盤托出，學生再按照教師提供的操作步驟一步步求證結論，那么學生即使出錯了，或者有了自己的想法，也不敢吱聲，因為他們不敢反駁教師，這就談不上“變教為學”了。要想做到“變教為學”，教師就要最大限度地放權，所有的提示和指導都要極盡模糊抽象，比如讓學生比較多個三角形內角和的大小，但學生發現比不出大小，因為所有三角形的內角和都一樣，既然一樣，必為定值，接著就要確定這個定值是多少。這樣一步步下來，三角形內角和定理就是學生自己發現的，而不是教師傳授的。

三、驗證方法多樣化

規律性知識的特點是結論是唯一確定的，但是探究的方法和途徑卻是多種多樣的。對三角形內角和定理的驗證，在小學階段，通常采用測算、剪接、拼貼的方法。這些方法直觀形象，易操作，適合形象思維較強的小學生。到了初中一般采用兩種方法證明。第一種類似《原本》中的方法，即應用同位角相等和內錯角相等的結論，將三角形的三個內角轉移到一塊，組成一個平角（如圖2）。

第二種是利用“任意多邊形的外角和是360°”的定律來推導。三角形三個外角之和是360°，而每個內角與相應外角組成平角180°，可推算三角形的內角和為180°×3-360°=180°。

2011年4月，一本名為《Math Horizons》的雜志發表了一篇文章，其中給出了“三角形的內角和是180°”的操作性解釋。

如圖3所示，在一個三角形的左下頂點處放置一根與底邊重合的火柴，然后不斷旋轉、平移這根火柴。

第一次：將火柴沿著內角頂點旋轉，與另一邊重合。

第二次：將火柴沿著重合的邊平移至另一個頂點。

第三次：將火柴沿著頂點旋轉至第三條邊。

第四次：將火柴沿著這一邊平移至第三個頂點處。

第五次：將火柴沿著頂點旋轉至底部的邊。

第六次：將火柴沿著底部的邊平移至出發點。

此時，火柴回到原點?；鸩竦恼麄€運動過程一共包含三次旋轉和三次平移，旋轉和平移交替進行。平移時火柴保持方向不變，引起火柴轉向的主要是旋轉，三次旋轉的角度之和恰好就是三角形三個內角的和，最后火柴水平調頭轉向說明它整體旋轉的角度是180°，這也就證明三角形的內角和是180°。

這一方法的優勢在于運用動態變化證明了靜態的幾何規律。同時，用“角”這一概念來度量方向的變化，將平移與旋轉的差別揭示出來，即平移運動是位置改變，方向不變，旋轉運動則是位置和方向改變。

驗證方法雖多樣，但不是所有方法都適合小學生使用，比如利用內錯角來證明對小學生來說是超綱的，利用外角和來證明也不合時宜，利用直觀的裁剪拼湊法來證明也無法令人信服，因為直觀操作的例子畢竟是有限的，屬于不完全歸納，學生目前的聯想能力和推理能力還不足以理解這種證明方法，也無法腦補出三角形三個內角湊到一起形成平角的景象。而利用火柴的旋轉和平移來證明，則能輕松理解，因為平移和旋轉是小學階段必備的基本幾何技能，學生通過平移和旋轉的特性來理解火柴在三個內角處旋轉三次，每次旋轉的角度恰好就是所跨越的內角度數，一共旋轉了三個內角度數之和，火柴最后回到初始位置，但是兩端調頭，說明三個內角和為180°。

“變教為學”倡導將教師的教學活動轉化為學生的主動探究活動，師生的主體地位發生扭轉。這種轉變要想獲得成功，必須有科學的學習任務和學習活動做支撐?！白兘虨閷W”中的操作活動，其實就是訓練學生綜合技能的機會。學習動機和學習方法是學習者保持學習熱情的原動力。因此，教師在設計學習任務時，要設身處地為學生著想，讓學生自覺學習，而不是被迫執行教師的指令，同時，在驗證環節，要為學生創造自主探究的機會，讓學生學會自主學習，牢牢掌握學習的主動權。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王亞.開展數學實驗，提高教學的適切性：以蘇教版小學數學四年級《多邊形的內角和》一課教學為例[J].小學教學參考，2021（21）：10-11.

[2] 劉馳.利用教學資源? ?構建生命課堂：《多邊形的內角和》教學設計[J].小學教學設計，2021（17）：51-53.

[3] 吳青.深刻理解內角概念? ?完善三角形內角和教學[J].課程教材教學研究（小教研究），2021（Z3）：42-46.

（責編 黃 露）