數(shù)學(xué)解題思維受阻原因與應(yīng)對(duì)措施的研究

徐小鋒

[摘 ?要] 文章從學(xué)生解決一道例題時(shí)思維受阻的實(shí)際情況出發(fā)，認(rèn)為高三階段學(xué)生在解決綜合型問題時(shí)常見的思維受阻情況有“基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，解題方向不清”“解題方法不完善，解題過程混亂”“解題思路無條理，解題過程煩瑣”等，并從“轉(zhuǎn)化已知條件”“變更問題形式”“調(diào)整解題思路”三方面提出應(yīng)對(duì)措施.

[關(guān)鍵詞] 思維受阻;解題;思路;思維

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、分析概括、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理等能力，使學(xué)生能用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題. 這要求教師在綜合復(fù)習(xí)教學(xué)中找出學(xué)生思維受阻的節(jié)點(diǎn)，幫助學(xué)生厘清頭緒，避免解題過程中思維受阻.

問題掃描

人腦在獲取知識(shí)的過程中能形成技能，在知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用中能激活思維，形成良好的思維方式與處理問題的能力. 因此，真正意義上的數(shù)學(xué)教學(xué)是學(xué)生獲取知識(shí)、積累經(jīng)驗(yàn)、形成基本技能與能力的過程. 但實(shí)際教學(xué)過程中，學(xué)生常因某一環(huán)節(jié)的疏忽，導(dǎo)致思維受阻，出現(xiàn)了各種問題. 教師以一道題為例，掃描學(xué)生思維受阻的情況，如下：

問題：若方程2x+x+2=0與logx+x+2=0的根分別為p，q，且函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2，求f（0），f（1），f（2）的大小關(guān)系.

本題難度系數(shù)并不大，但學(xué)生的解題情況不容樂觀：班上48名學(xué)生參與解題，其中有29人出現(xiàn)了解題錯(cuò)誤. 經(jīng)過與學(xué)生溝通交流，發(fā)現(xiàn)他們出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的主要原因有以下幾種：

第一種，沒有完全理解求解方程根的方法.有些學(xué)生從函數(shù)g（x）=2x+x+2與函數(shù)h（x）=logx+x+2著手，通過求導(dǎo)、作圖求函數(shù)的零點(diǎn). 事實(shí)證明，從函數(shù)g（x），h（x）的零點(diǎn)出發(fā)，基于圖象進(jìn)行分析，并不能解決本題.

第二種，沒有完全理解函數(shù)的性質(zhì). 有些學(xué)生在解題過程中，分別作出函數(shù)y=2x，y=-x-2與y=logx的圖象后，卻無法厘清函數(shù)y=2x，y=logx圖象之間的關(guān)系，因而無法獲得方程根的關(guān)系.

第三種，沒有完全理解圖象的對(duì)稱性. 有些學(xué)生沒有發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=2x與y=logx的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的關(guān)系，也沒有理解x=1是二次函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2的對(duì)稱軸，從而導(dǎo)致解題思維受阻.

第四種，無法靈活應(yīng)用二次函數(shù)圖象以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等，也無法從函數(shù)值大小以及函數(shù)圖象的角度對(duì)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性的理解不透徹.

綜上所述，學(xué)生對(duì)于問題無法做到認(rèn)真思考與分析，更沒有形成縱橫聯(lián)系與互相轉(zhuǎn)化的習(xí)慣，當(dāng)遇到實(shí)際的綜合型問題時(shí)，解題思維自然受阻.

思維受阻原因的分析

1. 基礎(chǔ)知識(shí)不牢固，解題方向不清

高三復(fù)習(xí)過程中遇到的一些綜合型問題往往由多個(gè)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念組合而來，學(xué)生只有對(duì)各個(gè)概念的內(nèi)涵及外延有清晰的認(rèn)識(shí)，才能輕松找出解題方向，獲得解題思路與方法. 但有些概念由于學(xué)習(xí)時(shí)間久遠(yuǎn)，學(xué)生難免出現(xiàn)遺忘或概念不清的情況，當(dāng)遇到實(shí)際問題時(shí)，對(duì)已知條件轉(zhuǎn)化途徑會(huì)產(chǎn)生方向不清晰的狀態(tài). 主要表現(xiàn)在不知道如何建立條件與結(jié)論的聯(lián)系，也不知道該將條件往哪個(gè)方面進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例1 已知△ABC中，·=9，·=-16，那么AB邊的長是多少？

如果學(xué)生不了解向量積的表現(xiàn)形式具有互相轉(zhuǎn)化的功能，那么本題求解將困難重重. 學(xué)生可從向量數(shù)量積的不同表示方法著手進(jìn)行分析，解題思路如下.

方向1 從向量數(shù)量積的定義著手進(jìn)行分析.

因?yàn)椤?9，∠A為向量與的夾角，所以AB·AC·cosA=9. 結(jié)合余弦定理，可得=9. 同理，結(jié)合余弦定理，由·=-16可得=16. 上述兩式相加即可獲得AB邊的長.

方向2 用基底向量，表示所研究的向量.

因?yàn)椤?-16，所以·（-）=-16，即·-2=-16，由此可得AB邊的長.

方向3 從向量數(shù)量積的幾何意義著手進(jìn)行分析.

∠A為向量與的夾角，根據(jù)·=9>0這個(gè)條件，可知∠A為銳角，同理可知∠B為銳角. 如圖1所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AB·AD=9，BD·AB=16，由此可得AB邊的長.

點(diǎn)撥 如果學(xué)生對(duì)向量的符號(hào)、圖形與坐標(biāo)缺乏認(rèn)識(shí)與理解，那么無法從這三種語言出發(fā)進(jìn)行向量問題的思考與解決. 基于向量的基本概念，最常見的問題設(shè)計(jì)與解決思路有：①選擇合適的基底，從向量符號(hào)出發(fā)，研究相關(guān)的數(shù)量積、夾角、模型等;②構(gòu)造向量圖形，從向量的幾何意義著手進(jìn)行探究，以“形”助解;③建立坐標(biāo)系，將向量問題用坐標(biāo)語言表達(dá)出來，從實(shí)數(shù)運(yùn)算的角度解決問題.

2. 解題方法不完善，解題過程混亂

眾所周知，問題是數(shù)學(xué)思維形成的核心，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ). 問題的解決需要學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)模式識(shí)別與學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對(duì)一些數(shù)學(xué)元素的性質(zhì)或關(guān)系做出合理解釋，這也是基本解題方法形成的過程. 若學(xué)生在數(shù)學(xué)基本方法的積累或記憶上出現(xiàn)偏差、遺漏或不完善的現(xiàn)象，則會(huì)導(dǎo)致解題思維受阻.

例2 假設(shè)集合A={xx2+4x=0，x∈R}，集合B={x

x2+2（a+1）x+a2-1=0，x∈R}，且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

根據(jù)B?A這個(gè)條件，學(xué)生容易獲知集合B中的所有元素均在集合A里，由A={-4，0}可得-4與0為方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的根，那么a的值就是1，-1，7.

若學(xué)生無法厘清集合內(nèi)容或集合間的關(guān)系，則在解題過程中會(huì)出現(xiàn)思維受阻的現(xiàn)象. 為了避免思維受阻這種現(xiàn)象的出現(xiàn)，需要教師帶領(lǐng)學(xué)生從以下兩個(gè)方面進(jìn)行思考，以達(dá)到完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的教學(xué)目的.

解法1 先解方程x2+4x=0，可得x=0或-4，可知A={-4，0};再解方程x2+2（a+1）x+a2-1=0，從方程是否有解的角度進(jìn)行思考與分析：

Δ=4（a+1）2-4（a2-1）=8a+8.

當(dāng)Δ<0時(shí)，可知a<-1，此時(shí)方程無解，B= ，與本題條件相符.

當(dāng)Δ=0時(shí)，可知a=-1，方程為x2=0，解得x=0，此時(shí)B={0}，B?A.

當(dāng)Δ>0時(shí)，可知a>-1，方程存在兩個(gè)根分別為x，x，因此B={x，x}. 根據(jù)B?A，可知{x，x}?{-4，0}，所以方程x2+2（a+1）x+a2-1=0的兩根分別是-4和0. 列方程組-2（a+1）=-4，

a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

解法2 根據(jù)題設(shè)條件，可直接確定集合A中的元素，因?yàn)榧螧中的方程x2+2（a+1）x+a2-1=0含有參數(shù)a，可知集合B中的元素比較繁雜.

從另外一個(gè)角度來分析，根據(jù)B?A以及子集的定義，可知B為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，于是從這四種情況進(jìn)行分析：

①當(dāng)B= 時(shí)，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0無解，因此Δ<0，可得a< -1;

②當(dāng)B={-4}時(shí)，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個(gè)相同的根，此時(shí)-2（a+1）=-8，a2-1=16，不存在解;

③在B={0}時(shí)，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個(gè)相同的根，此時(shí)-2（a+1）=0，a2-1=0，可解得a=-1;

④在B={-4，0}時(shí)，方程x2+2（a+1）x+a2-1=0存在兩個(gè)根，分別為-4與0，此時(shí)-2（a+1）=-4，a2-1=0，解得a=1.

綜上分析，可確定a=1或a≤-1.

點(diǎn)撥 遇到集合問題時(shí)，首先要從集合的屬性出發(fā)，弄清集合中究竟存在哪些元素;其次要搞清楚兩個(gè)集合之間的關(guān)系. 本題需要確定集合A中的元素為集合B中方程的根，且集合A中方程的系數(shù)是明確的數(shù)，因此能夠直接獲得待求方程的根是多少.

于集合B而言，因?yàn)榉匠滔禂?shù)含有參數(shù)，所以需要從不同的角度來分析問題：①從集合B著手解方程，根據(jù)方程系數(shù)含有參數(shù)的條件，需要對(duì)判別式分類討論;②從B?A以及子集的定義出發(fā)，確定集合A={0，-4}存在四個(gè)子集，也就是集合B分別為 ，{0}，{-4}，{-4，0}，再依次求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

如果將一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元二次不等式，也可以從以上兩個(gè)角度出發(fā)，將問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)最值問題或一元二次方程根分布問題而破解. 將問題條件進(jìn)行科學(xué)、合理的轉(zhuǎn)化，是一種重要的解題思路，在復(fù)習(xí)過程中要注重歸納與積累.

3. 解題思路無條理，解題過程煩瑣

數(shù)學(xué)解題講究七分構(gòu)思與三分表達(dá)，構(gòu)思指讀題、審題、聯(lián)想與歸納等，表達(dá)主要包含書寫、運(yùn)算、反思與回顧等. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)涵蓋了思考過程與問題結(jié)果的思考，需要注重規(guī)范表達(dá)與書寫. 但有些學(xué)生在解題過程中，因缺乏良好的讀題、審題以及規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣，導(dǎo)致解題思路毫無條理可言，出現(xiàn)解題過程異常煩瑣的現(xiàn)象.

例3 已知S是等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，假設(shè)S=q，S=p（p≠q，p，q∈N*），則S的值是多少？

因教育方式的區(qū)別，學(xué)生的思維習(xí)慣存在較大差異，一些學(xué)生不善于從問題中尋找有用的條件，也不習(xí)慣將問題的條件與待求結(jié)論建立聯(lián)系，從而導(dǎo)致解題思路缺乏條理，解題過程過于煩瑣. 本題可從以下三個(gè)方面著手進(jìn)行分析.

解法1 從基本量著手.

將

pa

+d=q，

qa

+d=p進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，獲得

a

+

d=，

a

+

d=，然后解出a與d的值，最后求出Sp+q.

解法2 從基本量著手.

列方程組

pa+

d=q，

qa

+d=p，兩式相減，可消除p-q，獲得a+d= -1，求得S=-（p+q）.

解法3 從其性質(zhì)著手.

因?yàn)?/p>

=q，

=p，所以

a

+a=

，

a

+a

=，兩式相減，獲得公差d，根據(jù)式子a+a=a+a+q·d，可得S的值.

解法4 從圖形著手.

已知點(diǎn)（n，S）位于S=A·n2+B·n上，根據(jù)S=q，S=p這個(gè)條件，可分別求得A，B，從而求得S的值.

點(diǎn)撥 關(guān)于數(shù)列運(yùn)算的問題，可從以下三個(gè)方面著手進(jìn)行思考：①根據(jù)數(shù)列概念、等差或等比數(shù)列的定義、數(shù)列的函數(shù)特性實(shí)施轉(zhuǎn)化;②根據(jù)數(shù)列的基本量求其通項(xiàng)或前n項(xiàng)和，轉(zhuǎn)化成關(guān)于方程的運(yùn)算方式;③根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算.

本題緊扣等差數(shù)列前n項(xiàng)和S的形式分析以下三種情況：①從基本量出發(fā)，可表示為S=na+d;②從性質(zhì)角度來看，可表示為S=;③從圖形來看，可表示為S=A·n2+B·n

A=，B=a-

. 應(yīng)用Sn這三種形式，均能直接解決本題.

培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性離不開教師在教學(xué)中的有機(jī)滲透，因此教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生探索解題思路，思考這樣做的依據(jù)是什么，解題途徑有什么;當(dāng)思維受阻時(shí)，該怎樣遷移知識(shí)、簡化難度等.

解決思維受阻的主要策略

1. 轉(zhuǎn)化已知條件

概念、定理、公式等是實(shí)施數(shù)學(xué)思考的原點(diǎn)，學(xué)生只有理解概念的內(nèi)涵與外延，對(duì)公式的來龍去脈以及結(jié)構(gòu)特征了如指掌，才能在解題時(shí)以不變應(yīng)萬變. 如審題過程中，可根據(jù)題設(shè)條件思考如何將已知條件轉(zhuǎn)化成更容易理解的形式，那么轉(zhuǎn)化依據(jù)是什么呢？概念轉(zhuǎn)化可從文字、符號(hào)與圖形三類語言出發(fā)，公式的轉(zhuǎn)化則需考慮計(jì)算的便捷性等.

例4 已知S是等差數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和，且不等式a+≥ma對(duì)任意正整數(shù)n以及任意等差數(shù)列{a}均成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 把式子S=代入a+≥ma后，原不等式轉(zhuǎn)化成了a+≥ma. 分離變量后，又將不等式轉(zhuǎn)化成了

+

1+

≥m. 令t=，原問題就轉(zhuǎn)化成了二次函數(shù)最值問題，此時(shí)可快速求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

點(diǎn)撥 解決本題時(shí)，思維的障礙點(diǎn)在于題設(shè)條件中存在多個(gè)變量，學(xué)生對(duì)于處理變量間的關(guān)系感到棘手. 因此，教師可引導(dǎo)學(xué)生從等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式出發(fā)，把多元不等式轉(zhuǎn)化成二元不等式，簡化問題難度.

2. 變更問題形式

當(dāng)遇到難以探尋解決方法的問題時(shí)，可從某些模型或結(jié)論著手，通過綜合性分析與設(shè)計(jì)，變更問題形式，為求解提供便捷.

例5 已知實(shí)數(shù)x，y滿足2x2+xy-y2=1，求的最大值.

已知式子2x2+xy-y2=1和待求式子均為關(guān)于x，y的二次式，但其形式偏復(fù)雜，而且兩個(gè)式子的關(guān)系也不太明顯. 因此，從基本不等式概念出發(fā)，將已知式子和待求式子分別變形，轉(zhuǎn)化成和與積的關(guān)系，具體可從以下兩個(gè)方面著手進(jìn)行分析.

分析1 先把已知式子分解成（2x-y）（x+y）=1，然后換元，設(shè)2x-y=a，x+y=b，可得x，y，再轉(zhuǎn)化a·b=1，最后求式子的最大值.

分析2 由于待求式子的分子是一次式，于是可通過換元，設(shè)x-2y=t，則x=t+2y，將待求式子和已知式子都轉(zhuǎn)化成t，y的關(guān)系式后求解.

3. 調(diào)整解題思路

數(shù)學(xué)教學(xué)想要促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，就要不斷地提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分析并解決問題. 在教學(xué)中，教師可設(shè)計(jì)一些科學(xué)合理的“問題串”，讓學(xué)生的思維順著問題拾級(jí)而上. 若遇到思維受阻，可根據(jù)函數(shù)圖象，式、量的幾何意義，以及方程曲線等及時(shí)調(diào)整解題思路.

例6 倘若函數(shù)f（x）=xex-asinxcosx（a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 如果對(duì)于任意x∈0

，，f（x）≥0均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

分析 若直接求導(dǎo)f（x），并不能確定導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點(diǎn)，也無法獲得函數(shù)f（x）的最小值，無法求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

當(dāng)x∈

0，

時(shí)，將f（x）≥0轉(zhuǎn)化成≥a，對(duì)求導(dǎo)，但無法求出其對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，因此無法明確的最小值.

此時(shí)需要換個(gè)角度進(jìn)行思考，當(dāng)x∈0

，，a≤0時(shí)，xex≥0恒成立，-asinxcosx≥0也恒成立，因此僅需考慮a>0的情況. 分別獲取xex，asinxcosx于x=0處的導(dǎo)數(shù)值，可猜想a≤1. 對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，可得f′（x）=ex-acos2x+xex于0

，上單調(diào)遞增，從而獲得a≤1.

總之，想要提高學(xué)生的解題能力，就須在教學(xué)過程中有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性，引導(dǎo)學(xué)生夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，注重解題思路與方法的積累. 只有弄清知識(shí)的來龍去脈，學(xué)生才能在豐富多變的綜合題中以不變應(yīng)萬變，形成良好的解題能力與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).