從“圓的面積”教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力

朱文靜

［摘 ?要］ 幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，文章主要結(jié)合“圓的面積”這一課，從動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，積累直觀經(jīng)驗(yàn)；利用信息技術(shù)，感悟直觀想象；建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建幾何框架這三方面，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)課堂教學(xué)來(lái)落實(shí)學(xué)生的幾何直觀的能力，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

［關(guān)鍵詞］ 幾何直觀；空間想象；極限思想

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，將核心素養(yǎng)的表現(xiàn)分為數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)語(yǔ)言三個(gè)維度，其中，將幾何直觀放在了發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光中來(lái)達(dá)成。幾何直觀主要是指“運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣……幾何直觀有助于學(xué)生把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”。它可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用。作為一線(xiàn)教師，該如何在課堂上落實(shí)幾何直觀這一核心素養(yǎng)呢？本文嘗試著做一些探索。

【教學(xué)情景描述】

“圓的面積”的教學(xué)是小學(xué)階段最后一個(gè)平面圖形面積的教學(xué)。在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形的面積計(jì)算，積累了一些有關(guān)面積轉(zhuǎn)化、公式推導(dǎo)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和方法。因此，對(duì)于平面圖形面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生是不陌生的。但是，前面學(xué)習(xí)的平面圖形都是直線(xiàn)圖形，而圓是曲線(xiàn)圖形，從研究直線(xiàn)圖形到研究曲線(xiàn)圖形，思想上和方法上都有變化，對(duì)學(xué)生而言是一種能力的跨越。

一、動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，借形明理，積累直觀經(jīng)驗(yàn)

如何將曲線(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行研究，這是本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)，教師要讓學(xué)生在動(dòng)手操作中去實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，直觀地展示新圖形轉(zhuǎn)化為舊圖形的全過(guò)程，借形明理，進(jìn)而經(jīng)歷整個(gè)過(guò)程。

片段一：交流探究思路，明確“轉(zhuǎn)化”的方法

教師將圓形紙片貼于黑板。

師：同學(xué)們，結(jié)合你們以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，想一想，你們準(zhǔn)備怎樣去研究圓的面積呢？

生1：把圓轉(zhuǎn)化為其他圖形進(jìn)行探究。

教師環(huán)顧全班，大部分學(xué)生點(diǎn)頭同意，達(dá)成共識(shí)。

師：回憶一下，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪些平面圖形？

生2：長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形……

師：對(duì)。那我們?cè)谵D(zhuǎn)化的時(shí)候是不是可以朝著這些圖形去思考呢？

生（齊）：是的。

師：不錯(cuò)，你們已經(jīng)知道了一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，就是把新知轉(zhuǎn)化為舊知來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。

這時(shí)，教師稍作停頓，故作很為難的樣子。

師：同學(xué)們，看看圓，再看看這些圖形，想把圓形轉(zhuǎn)化成學(xué)過(guò)的這些圖形……

學(xué)生也陷入思考，感覺(jué)有困難。一位學(xué)生大聲說(shuō)出了大家的心聲。

學(xué)3：有困難。

師：什么困難？

生3：圓的邊是圓圓的，而以前學(xué)過(guò)的圖形的邊都是直的。

師：你們的意思是把圓這個(gè)曲線(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化成直線(xiàn)圖形，感覺(jué)有困難。

教師在黑板上板書(shū)：曲—直？

師：這樣，同學(xué)們，老師為你們準(zhǔn)備了一張圓片，咱們可以先自己試一試、折一折，看能不能解決這個(gè)難題。

學(xué)生用圓片自己嘗試“化曲為直”，并上臺(tái)展示自己的思考過(guò)程。

師：我們一起來(lái)看看這兩位同學(xué)的。

生1：我通過(guò)折，把圓轉(zhuǎn)化成了直線(xiàn)圖形，打開(kāi)一看，面積發(fā)生了變化，變小了，所以這種方法行不通。

生2：我是沿直徑對(duì)折、對(duì)折，再對(duì)折，得到了一個(gè)圖形，很像三角形。

師：對(duì)呀，這個(gè)同學(xué)沿著直徑對(duì)折、對(duì)折，再對(duì)折，就可以把這個(gè)圓分成偶數(shù)等份，打開(kāi)后，大家觀察，他得到了一個(gè)什么圖形？

生（齊）：得到了許多三角形，準(zhǔn)確說(shuō)是許多近似的三角形。

這時(shí)，教室里氣氛活躍起來(lái)，學(xué)生都覺(jué)得將圓轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的圖形是可行的。

師：咱們?cè)俅蜷_(kāi)看看，這樣就把圓平均分成了很多個(gè)近似的三角形，面積沒(méi)有變，但還不是直線(xiàn)圖形。接下來(lái)，怎么辦？

一位學(xué)生踴躍站起來(lái)，提出他的想法。

生4：可以把這些近似的三角形，剪下來(lái)，重新進(jìn)行拼組，看能不能拼成直線(xiàn)圖形。

師：根據(jù)這位同學(xué)的思路，我們?cè)倮^續(xù)研究下去，可能會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。

設(shè)計(jì)意圖：理論和實(shí)踐都告訴我們，小學(xué)生生成幾何直觀觀念的主要途徑是觀察與操作。學(xué)生先通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圓與以前學(xué)過(guò)的平面圖形的不同，再通過(guò)自己動(dòng)手折一折去找到將曲線(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)圖形的可行辦法，從而突破難點(diǎn)。

二、利用信息技術(shù)，直觀想象，感受極限思想

在學(xué)生動(dòng)手操作完成后，會(huì)發(fā)現(xiàn)將圓沿著直徑分出的份數(shù)越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。于是，教師利用信息技術(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)直觀想象，感受極限思想。

片段二：直觀想象，感受極限思想

課件展示8等分拼圖、16等分拼圖、32等分拼圖、64等分拼圖。

師：其實(shí)剛才同學(xué)們做的是把圓等分成8份和16份后拼成的圖形。

師：如果分的份數(shù)更多一些呢？

師：先看看把圓平均分成32份，再看看把圓平均分成64份。

學(xué)生看著課件上的圖形變換，發(fā)出陣陣驚嘆聲。

師：看看這些拼成的圖形，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：分的份數(shù)越多，拼起來(lái)就越像長(zhǎng)方形。

師：剛才你們拼出的是近似的平行四邊形，現(xiàn)在怎么看起來(lái)越來(lái)越像長(zhǎng)方形了。

生6：分的份數(shù)越多，拼成的上下兩條線(xiàn)越來(lái)越直。

師：你的觀察真細(xì)致，感受到了上下兩條線(xiàn)的變化趨勢(shì)。

生7：左右兩條線(xiàn)傾斜度越來(lái)越小。

師：你感受到了左右兩條線(xiàn)的變化趨勢(shì)，你真行。

師小結(jié)：分的份數(shù)越多，拼成的圖形的上下兩條曲線(xiàn)越來(lái)越接近一條直線(xiàn)，左右兩條線(xiàn)也在慢慢發(fā)生變化，所以越來(lái)越接近一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：但現(xiàn)在是一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？它還只是一個(gè)近似的長(zhǎng)方形。

師：如果再繼續(xù)等分下去，請(qǐng)大家閉眼想象，它會(huì)拼成一個(gè)什么圖形？

全班學(xué)生閉眼想象。

師：把一個(gè)圓平均分成128份，拼成了什么圖形，256份呢？無(wú)限等分下去，分成無(wú)數(shù)份，拼出了什么圖形？

有的學(xué)生回答：長(zhǎng)方形；還有的學(xué)生認(rèn)為：近似的長(zhǎng)方形。

學(xué)生辯論起來(lái)。

生（齊）：如果分的份數(shù)越多，上下兩條邊就越來(lái)越直了，最終都會(huì)成為一條直線(xiàn)。

師：同學(xué)們太了不起了，你們體會(huì)到了越分越多的精髓，慢慢地它會(huì)越來(lái)越接近一個(gè)長(zhǎng)方形。也就是說(shuō)把圓等分成無(wú)限多份，再重新組合，它就會(huì)成為一個(gè)長(zhǎng)方形了。

……

師：同學(xué)們，剛才大家先通過(guò)動(dòng)手操作，再通過(guò)閉眼想象，把圓進(jìn)行無(wú)限分，就將其轉(zhuǎn)化成了一個(gè)長(zhǎng)方形，這樣，我們便成功地解決了“化曲為直”的困難。這種“無(wú)限分”和“化曲為直”的極限思想對(duì)你們以后的學(xué)習(xí)有重要的幫助。

設(shè)計(jì)意圖：利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段將圓沿著直徑無(wú)限等分后拼成近似長(zhǎng)方形的過(guò)程演示出來(lái)，將轉(zhuǎn)化的過(guò)程可視化，生動(dòng)的畫(huà)面讓學(xué)生腦洞大開(kāi)。緊接著，讓學(xué)生閉眼想象，在學(xué)生頭腦里形成無(wú)限分割并拼成長(zhǎng)方形的畫(huà)面，這發(fā)展了學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，同時(shí)讓學(xué)生初步感受了極限思想的本質(zhì)。

三、建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，厘清脈絡(luò)，構(gòu)建幾何框架

片段三：全課小結(jié)，思維提升

師：同學(xué)們，現(xiàn)在你們已經(jīng)學(xué)完了小學(xué)階段所有需要學(xué)習(xí)的基本平面圖形的面積，請(qǐng)看屏幕。

師：透過(guò)這個(gè)圖（圖4），你們有什么想說(shuō)的嗎？

生8：從這個(gè)圖中，我知道了長(zhǎng)方形是我們學(xué)習(xí)所有平面圖形的基礎(chǔ)。

生9：我覺(jué)得在學(xué)習(xí)這些平面圖形的面積時(shí)，都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。

生10：我們?cè)趯W(xué)習(xí)這些圖形的面積時(shí)，課堂上都進(jìn)行了操作，有時(shí)拼、有時(shí)剪，非常有意思。

師：是啊，我們?cè)谔骄窟@些圖形面積的過(guò)程中，都運(yùn)用了各種操作實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷了“先轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關(guān)系—最后根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)公式”的探究過(guò)程。你們真了不起。

師：同學(xué)們，任何學(xué)習(xí)都不是一蹴而就的，都是在不停觀察、比較、發(fā)現(xiàn)中，將新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)，化曲為直，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。學(xué)知識(shí)就像蓋房子，愿同學(xué)們不停地添磚加瓦，打造出自己心中最美的知識(shí)宮殿。

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課是圖形與幾何部分的內(nèi)容，本身就有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力。在全課小結(jié)時(shí)教師讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，感受平面圖形面積公式推導(dǎo)的一般方法：轉(zhuǎn)化圖形—尋找聯(lián)系—推導(dǎo)公式。這樣將所有學(xué)過(guò)的平面圖形面積的知識(shí)結(jié)構(gòu)化，串成線(xiàn)，連成線(xiàn)，結(jié)成網(wǎng)，能幫助學(xué)生構(gòu)建幾何知識(shí)框架，掌握數(shù)學(xué)思想方法，提升綜合學(xué)習(xí)能力。

【教學(xué)反思】

在“圓的面積”公式推導(dǎo)的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)操作活動(dòng)去探明數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過(guò)直觀想象，積累幾何直觀的經(jīng)驗(yàn)。

一、關(guān)聯(lián)知識(shí)鏈接，建立幾何網(wǎng)絡(luò)圖

在談收獲時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一張所有平面圖形轉(zhuǎn)化的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生觀察體會(huì)知識(shí)的關(guān)聯(lián)。通過(guò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，教師表達(dá)兩層意思：第一，長(zhǎng)方形是我們學(xué)習(xí)所有平面圖形的基礎(chǔ)；第二，我們?cè)谔骄窟@些圖形面積的過(guò)程中，都經(jīng)歷了“先轉(zhuǎn)化為以前學(xué)過(guò)的圖形—再觀察比較，找出圖形之間的關(guān)系—最后根據(jù)關(guān)系推導(dǎo)公式”的探究過(guò)程。學(xué)生恍然大悟，不僅學(xué)習(xí)了圓面積這單一知識(shí)，還總結(jié)了這一類(lèi)知識(shí)的學(xué)習(xí)方法，將知識(shí)串成線(xiàn)，鋪成面，立成體，培養(yǎng)了幾何直觀能力。

二、動(dòng)手操作，直觀想象，突破重難點(diǎn)

學(xué)生只有將直線(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有將曲線(xiàn)圖形轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)圖形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這造成了他們學(xué)習(xí)上的困難。如果學(xué)生沒(méi)有提前學(xué)習(xí)，就很不容易想到要把圓沿直徑剪開(kāi)，再拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。不過(guò)，學(xué)生有“化曲為直”的經(jīng)驗(yàn)（比如認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)這節(jié)課）?；谶@個(gè)經(jīng)驗(yàn)，教師適當(dāng)引導(dǎo)，讓他們?cè)趦纱蝿?dòng)手操作中找到研究的方向，并沿著這個(gè)方向探究下去。操作實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生有了直觀的認(rèn)識(shí)和過(guò)程的感悟，把抽象的數(shù)學(xué)變得“可視”起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀能力。

極限思想的滲透是這節(jié)課最難突破的點(diǎn)，學(xué)生看不著、摸不著，不好用語(yǔ)言來(lái)表述，也不好用肢體來(lái)表達(dá)，是一種只能意會(huì)不能言傳的東西。但是，教師卻不能放棄，哪怕讓一部分學(xué)生感受到這種極限思想，也會(huì)為他們今后進(jìn)入初中學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。