韓蕓:“正方體截面的探究”單元教學之課時要素設計

韓蕓

[摘 ?要] 設計基于情境、問題導向的“問題鏈+任務單”，在情境和情境活動中歸納正方體截面的兩種作法——“平行線法”和“延長線法”.

[關鍵詞] 正方體截面的作法;課時要素設計

“正方體截面的作法”是“正方體截面的探究”單元教學之第2課時，在第1課時“正方體截面的形狀”的學習中，歸納了正方體截面的六種形狀，理解了聚焦正方體的棱與截面交點位置的重要性，通過連接交點形成的線段來確定截面形狀.本文以“正方體截面的作法”為例，設計基于情境、問題導向的“問題鏈+任務單”，在情境和情境活動中歸納正方體截面的兩種作法——“平行線法”和“延長線法”.

教學目標

經歷觀察、發現與證明過程，歸納正方體截面的兩種作法——“平行線法”和“延長線法”，增強正方體模型意識;在情境與問題中體驗分類討論、數形結合思想方法，發展直觀想象、數學抽象等核心素養.

教學策略

教學重點：利用“平行線法”和“延長線法”作截面.

教學難點：根據已知條件作出正方體的截面.

教學資源：數字化平臺、平板電腦.

教學方法：“問題鏈+任務單”教學法.

學習評價

見表1.

教學流程

略.

教學過程設計

1. 課前學習單

【學習單1】梳理平面的基本性質（三個基本事實和三個推論）和面面平行的性質定理.

【學習單2】正方體的截面不可能是（ ?）

①鈍角三角形;②直角三角形;③菱形;④正五邊形;⑤正六邊形.

A. ①②⑤ B. ①②④

C. ②③④ D. ③④⑤

【學習單3】在正方體ABCD-ABCD中，作出過A，C，D三點的截面，作出過A，C，C三點的截面.

設計意圖 梳理平面的基本性質（三個基本事實和三個推論）及面面平行的性質定理;回顧上一節課“正方體截面的形狀”的學習內容，讓學生進一步熟悉正方體截面的形狀，感受“棱”與“截面”交點的特殊性，為第2課時“正方體截面的作法”的學習做好準備.

2. 情境引入

【問題1】正方體截面的形狀有哪些？

【任務1】請回顧上一節課“正方體截面的形狀”的學習過程，交流展示課前學習單.

【追問1】請觀察正方體的棱與截面交點的位置，嘗試作出正方體的截面.

設計意圖 深入理解聚焦棱與截面交點的特殊位置，讓學生直觀感知正方體中面和面的交線.

3. 探究交流，成果展示

【問題2】如圖1所示，已知正方體ABCD-ABCD中，M是棱AA的中點，過點C，M，D作出正方體的截面，并觀察截面的形狀，交流作法.

【任務2】按所給條件作出正方體的截面，組內交流作法，在班級展示.

【追問2】所給截面圖形的邊與正方體的位置關系是怎樣的？

【追問3】延伸所給的截面，猜想截面會與正方體的哪些面相交？

【追問4】如何找到截面與棱的所有交點，從而得到完整的截面圖形？

【追問5】結合平面的基本性質和面面平行的性質定理，說說你的作法.

【追問6】觀察所作截面是什么圖形，與正方體的幾個表面相交？

【追問7】改變點M在棱上的位置，還可以用這些方法作截面嗎？

設計意圖 設計不同的情境和情境活動，提出合理的問題，直觀感知并猜想截面與正方體表面交線的位置，培養學生發現問題、分類討論、推理論證等能力.

4. 構建數學

【問題3】結合上述作圖過程和推理過程，歸納作正方體截面的一般方法.

設計意圖 引導學生把握棱與截面交點的位置這一本質，概括作正方體截面的方法——“平行線法”和“延長線法”.

【任務3】學生交流，作圖說理驗證.

設計意圖 如圖2所示，根據面面平行的性質定理，過棱上一已知點作已知交線的平行線，找出截面與棱的其他交點，連接交點，得到交線，這種作法俗稱“平行線法”. 如圖3所示，根據平面的基本事實，通過延長截面與正方體表面的交線和同一平面內的棱，得到交點，由于點在線上，故可得該交點既在截面內又在正方體的表面上，所以該交點一定在截面與正方體表面的交線上，連接正方體同一個表面上性質相同的點，可以作出截面與棱的交點，從而作出交線，這種作法俗稱“延長線法”.

5. 學以致用

【問題4】如圖4所示，已知正方體ABCD-ABCD中，M是棱AA的中點，N是棱AD的中點，過點C，M，N作出正方體的截面.并觀察截面形狀，交流作法.

【任務4】類比探究過程，作出正方體的截面，組內交流作法，在班級展示，（結果如圖5所示）.

【追問8】所給截面圖形的邊與正方體的位置關系是怎樣的？

【追問9】可以選擇哪種方法延伸所給的截面，找到其與正方體棱的交點？

【追問10】觀察所作截面是什么圖形，與正方體的幾個表面相交？

【追問11】當點在棱上的位置發生變化時，截面形狀有什么變化？作法會改變嗎？

設計意圖 設計不同的情境，變換棱上點的位置，雖然截面形狀發生了變化，但截面的作法不變，凸顯探究問題表現出來的變化中的不變，積累探究問題的通性通法.

6. 目標檢測單

【問題5】在正方體ABCD-ABCD中，點M，N，G分別是棱AA，AD，BC的中點.

①過點M，N，G作出正方體的截面;

②求所作截面的面積;

③當點G在BC上運動時，截面可能是什么圖形？

設計意圖 聚焦正方體模型，讓學生深入理解棱與截面交點的位置對截面的影響，通過作圖表達進而深層次探究正方體截面面積問題，找到空間圖形與平面圖形之間的相互轉化的聯系，引導學生提出可供探究的數學問題，培養學生類比、運用數學知識解決問題的能力.

7. 課堂總結

【問題6】請談一談本節課學習了哪些正方體截面的作法，說一說這些作法的依據.

【追問12】請歸納正方體模型的主要性質.

【追問13】談一談本節課內容中涉及了哪些數學思想方法和學科素養.

設計意圖 回顧梳理2個課時之間的連貫性和整體性，培養學生的分類討論、數形結合思想方法，提升學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等數學核心素養，積累數學探究活動經驗，讓數學探究成果落地.

8. 課后作業單

在正方體ABCD-ABCD中，點E，F分別是棱BB，BC的中點，點G是棱CC的中點，則過線段AG且平行于平面AEF的截面圖形為（ ?）

A. 矩形 B. 三角形

C. 正方形 D. 等腰梯形

設計意圖 要求學生根據情境作出正方體模型，運用所學知識解決問題.