布魯納認知結構學習理論對小學數學教學的啟示

黃欣然　喻平

【編者按】 從2019年第6期開始，我們陸續刊登了南京師范大學喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（小學）系列文章。其中，前7篇文章聚焦數學學習心理學關注的基本概念（方面），如應用題解決、思維品質、樣例設計、非智力因素、邏輯推理、學習策略、思維發展等；從第8篇文章（2022年第1期）開始，聚焦的是與數學學習心理學有關的經典理論（思想）。這些經典理論（思想）常讀常新，是數學教育教學及其研究需要不斷回顧與體味、努力傳承與發展的原點。本期刊登的文章聚焦布魯納的認知結構學習理論，大概念統領、核心素養導向、單元教學、跨學科學習、探究式學習等“新概念”都可以在其中找到根源。

摘要：布魯納認知結構學習理論的心理學基礎是歸類理論、編碼系統、表征系統；課程思想是結構思想；教學形式是發現學習，其前提是學習準備、直覺思維、學習動機。認知結構學習理論對小學數學教學的啟示有：注重教學內容的整體處理，提供富有想象的思維空間，設置多元表征的問題情境，提倡探究過程的學習方式。

關鍵詞：小學數學;布魯納；認知結構；發現學習；表征系統

布魯納認知結構學習理論的基本觀點是，（學科）知識的學習基于（學科）結構的學習。布魯納指出：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解該學科的基本結構。”［1］基于這種思想，布魯納提出“發現學習”的主張。重溫經典，解讀認知結構學習理論，對當下的數學教學有積極的參考價值。

一、布魯納認知結構學習理論概述

布魯納認知結構學習理論的基本框架，由心理學基礎、課程思想與教學形式等組成。

（一）認知結構學習理論的心理學基礎

歸類理論、編碼系統、表征系統為認知結構學習理論建立了心理學基礎。

1.歸類理論

布魯納認為，歸類就是分別對待各種相同的事物，對周圍的各種物體、事件和人進行分類，所有的認知活動都涉及類別問題。［2］歸類理論源于布魯納對知覺的研究，他認為知覺過程有四個步驟——（1）初步歸類：注意事物的某些特征，孤立地看待事物；（2）搜尋線索：尋找可以用來辨別該事物的某些特征，以便將其歸入某一類別；（3）證實線索：確認歸類的準確性；（4）結束證實：不再對其他線索進行探索。可見，知覺的過程就是歸類的過程。

歸類理論引申出兩個重要推論。一是結構思想。結構就是一個系統，而組建系統的前提是對事物進行分類，在分類基礎上進一步抽象進行二次分類，以此類推的多層分類結果就是一個結構。二是認知學習觀。為了更好地促進學習，提供信息是必要的，但是，掌握這些信息本身并不是學習的目的，學習應該超越所給的信息。［3］

顯然，認知學習觀是基于結構思想的。而且，認知學習觀與當前課程改革“從知識為本轉向素養為本”的基本理念一致：提供給學生的信息是知識，但學習的目標不限于理解和掌握知識，更重要的是發展核心素養。

2.編碼系統

在歸類理論的基礎上，布魯納進一步提出編碼系統的概念。編碼系統是一組相互聯系的、非具體性的類別。編碼系統的一個重要特征是，對相關的類別作出層次結構的安排：較高的類別處于上層，較低的類別處于下層。這就是上面所說的多層次歸類，得到的結果即一種結構。因此，編碼系統理論進一步支持了結構思想。

編碼系統的另一層意義在于，對知識的保持和遷移起著重要作用。因為層次分明、條理清晰的知識在頭腦中會形成優良的認知結構，這種認知結構由知識相互聯結、相互支撐形成的網絡結構內化而成，使知識不容易被遺忘。同時，個體在學習新知識或解決新問題時，可以沿頭腦中的知識網絡迅速、準確地提取信息，實現知識的有效遷移。

3.表征系統

布魯納認為，人類智慧生長期間，有三種表征系統在起作用，即動作表征、表象表征和符號表征。動作表征指依據實物或行為來認識事物；表象表征指通過頭腦中的映象來認識事物；符號表征指通過各種符號來認識事物。布魯納提出的表征系統與皮亞杰的兒童認知發展理論是相通的，不同之處在于：皮亞杰關注的是知識本身的性質，屬于認識論問題；布魯納關注的是知識增長的過程，屬于學習論問題。

“動作—表象—符號”是兒童認知發展的順序，也是學習的序列。［4］即人類智慧發展始終沿著這三種表征系統的順序前進，動作表征、表象表征和符號表征是按順序發展的，它們不能相互取代，彼此之間也不能跨越某種表征而存在。［5］當認知發展到一定的程度時，個體就能一直連續不斷地使用這三種表征系統去認知。也就是說，學習者至少有三種顯然不同的方式來表征學習的經驗和思維。

在此基礎上，英國數學教育家迪恩斯提出數學學習的知覺變式原則，延伸出多元表征理論。［6］該理論既滿足不同兒童的認知風格，也幫助兒童從多種具體模型中抽象出數學結構。依此來設計教學，可以較好地達到促進學生智慧發展或認知生長的目的。

（二）認知結構學習理論的課程思想與教學形式

結構思想是認知結構學習理論的課程思想，發現學習是認知結構學習理論的教學形式。

1.結構思想

在《教育過程》一書中，布魯納反復強調結構思想的重要性。他用生物學、數學、語言學中的三個實例通俗地解讀了基本原理統領的學科結構。例如，代數學就是把已知數同未知數用方程聯系起來，使得未知數成為可知的一種方法。解這些方程需要使用三個運算法則：交換律、分配律和結合律。學生一旦掌握了這三個運算法則所體現的思想，就能認識到，要解的“新”方程其實不是新的，而不過是一個舊方程的變形罷了。［7］

他還用一章的內容專門討論基本原理統領的學科結構的重要性。概括地說，第一，懂得基本原理可以使學科更容易理解，不僅是對理科的學習，也包括對文科的學習；第二，學科結構有利于知識的記憶——“除非把一件件事情放進構造得很好的模式里，否則就會遺忘。詳細的資料是依靠簡化的表達方式保存在記憶里的”；第三，學科結構有利于知識的遷移——結構是一種模式，有助于理解可能遇到的其他類似的事物；第四，教材的結構化可以縮小“高級”知識和“初級”知識之間的差距，因為兩者可以通過結構聯系起來。［8］

《義務教育課程方案（2022年版）》在“課程標準編制”中提出：加強課程內容的內在聯系，突出課程內容結構化，探索主題、項目、任務等內容組織方式。［9］由此滋生出的大概念、任務群、問題鏈、單元教學、跨學科教學等概念，本質就是結構化，學理上與布魯納的結構思想一脈相承。

2.發現學習

布魯納認為，學生在掌握學科基本原理的同時，還要掌握學習這一學科的基本方法，其中，發現的方法最為重要。于是，他依據表征系統的理論，提出發現學習的主張。所謂“發現學習”，是指學生在教師的啟發誘導下，通過自己獨立閱讀、積極思考而自行發現并掌握新知識的一種學習方式，包括“在學習中發現”和“在發現中學習”兩個含義。

要實現發現學習，應當考慮三個前提：學習準備、直覺思維、學習動機。

學習準備涉及兒童的智力發展、學習的行為、螺旋式課程。關于兒童的智力發展，布魯納用認知表征系統替代了皮亞杰的認知發展理論，建立了學習與教學的橋梁。對于學習的行為，布魯納認為，學習是知識獲得、轉化和評價的過程。（1）獲得新知識，或者是對已有知識的替代，或者是對已有知識的提煉。（2）獲得了新知識后，還要對它進行轉化，可以通過外推（由已知推未知）、內插（增添知識或補充空白）、變換等方式把知識整理成另一種形式，以便“超越所給的信息”。（3）評價則是對知識轉化的一種檢查，通過評價可以核對處理知識的方法（發現與轉化）是否適合新的任務或者用得是否正確，因此，評價通常包含對知識的合理性進行判斷。

直覺思維具有非邏輯性和直接性的特點，表現為能很快地產生假設，迅速地對問題的解決方案作出猜想和預測，因而對發現活動極為重要。布魯納十分提倡在發現學習中利用直覺思維，因為這樣的思維方式不僅能顯著地提高學生的認知效率，更能在一定程度上對學生的內部認知結構產生潛移默化的影響。

學習動機包括外部動機和內部動機。內部動機比外部動機更加重要，所以，布魯納認為，應當將外部動機轉化為內部動機。發現活動有利于激發學生的好奇心，學生容易受好奇心的驅使，對探求未知的結果表現出興趣。所以，布魯納把好奇心稱為“學生內部動機的原型”。

（三）認知結構學習理論的基本框架

將上述概念組合成一個框架（如圖1所示），可以清楚地把握認知結構學習理論的體系。

結構思想是課程思想，其心理學基礎是歸類理論、編碼系統、表征系統。發現學習是教學形式，其前提是學習準備、直覺思維、學習動機。同時，表征系統又是學習準備的心理學基礎。

認知結構學習理論于現代教育的啟示可以歸納為以下幾點：（1）結構化的課程思想，由此衍生出大概念統領、單元整體、跨學科綜合等教學模式。（2）認知學習觀，即掌握信息本身不是學習的目的，學習應該“超越所給的信息”，由此衍生出通過知識學習來培養學生核心素養的現代解釋。（3）表征系統的雙重性，即動作表征、表象表征、符號表征是對不同年齡階段學生思維的刻畫，具有順序性；這三種表征又在各個年齡段同時并存，也就是對事物的認識存在多元表征樣態。（4）發現學習的目標指向，即發現結果是目標之一，但經歷發現的過程是更為重要的目標。

二、對小學數學教學的啟示

（一）注重教學內容的整體處理

布魯納提出要將學科內容結構化，講授學科的結構，不僅可以讓學生簡單而明確地把握學習內容，而且可以培養學生遷移運用的能力。數學是一門知識高度結構化的學科，教師首先要對數學知識有一個整體性、系統性的認知，然后以整體（系統）觀念為指導去教學，讓學生將獲得的新的知識與已有知識聯系起來去理解和掌握，在頭腦里形成知識網絡。這樣，學生就更容易理解、鞏固、保持所學知識。

注重教學內容的整體處理，要從兩個方面來開展：

1.課前教學內容的整體設計

第一，以章節為單元的設計。教材是教學內容的基本載體，也是教學設計的重要依據。通常情況下，教師可以教材中的章節為單元來整體設計。這種類型的單元教學設計的主要任務有：

（1）分析本單元的數學知識結構。思考本單元知識與前面學過的哪些知識有聯系，它們是什么關系；以及本單元知識與后面要學的哪些知識有聯系，它們是什么關系。

（2）分析數學知識與現實生活的聯系。思考如何使本單元的數學知識與兒童的家庭生活經驗、學校生活經驗、社會生活經驗有機結合。

（3）分析本單元的數學思想方法。數學思想方法可能是貫穿本單元的，也可能是散布在本單元中的。無論哪種情形，都要在教學設計和實施中將其凸顯出來。

（4）設計本單元的教學目標。圍繞本單元的知識主線，設計培養核心素養的目標，列出主要的核心素養表現與次要的核心素養表現；對“四基”“四能”目標作出具體描述；對必備品格與正確價值觀目標作出具體描述。

（5）設計本單元的學習質量評價方案（主要是思考作業的設計）。作業大概可分為兩類：一類側重于理解和鞏固知識，另一類側重于發展數學核心素養。要考慮兩類作業的比重，還要兼顧核心素養的考查水平，使得不同水平的題目分布合理。

第二，跨章節的單元設計。由不同章節甚至不同年級的教材內容組合成單元，本質上是對一個學段數學教材的通盤分析，可以利用大概念（如基本原理、基本方法）作為統領，形成知識體系，同時按照教材的知識順序推進教學。這種類型的單元教學設計的意義在于，連通知識點之間的關系，以舊知識作為鋪墊，用類比的方式學習新知識；同時，通過溝通知識之間的聯系，形成知識體系，幫助學生建立完整的認知結構。

例如，“幾何度量”包含長度、角度、面積和體積等有關內容，分布在蘇教版小學數學教材的不同年級（不同章節）中（具體如表1所示）。它們有相同的結構體系，因此，可以用大概念“度量”來統領，從而組成一個跨章節的單元。

教學內容教材分布長度二年級、三年級、六年級角度四年級面積三年級、五年級、六年級體積五年級、六年級教學“長度”內容時，首先，創設情境讓學生感受單位的形成；其次，通過講授和引導向學生展現“幾何度量”單元的基本結構：度量對象的感知（線段）、度量單位的產生與發展（千米、米、厘米、毫米）、度量工具的使用（刻度尺）和度量方法的選擇（直接比較、間接比較、精確比較）；最后，引導學生總結學習過程和數學思想，培養單位觀念，發展數感與量感。［10］這樣，教學“角度”內容時，就可以采用類比的方法來開展，以問題引領思考：長度有大小，角度有沒有大小？長度有單位，角度有沒有單位？長度有度量工具，角度有度量工具嗎？教學“面積”和“體積”內容時，也可以采用這種思路。

2.課后學習內容的整體梳理

無論是以章節為單元的設計，還是跨章節的單元設計，教學一個單元的內容后，都要引導學生對學習內容進行整體梳理。事實上，教材中也有相應的處理：章節后面都有知識結構圖。但要注意兩點：一是教材中給出的知識結構圖往往只有知識的縱向發展，缺少知識的橫向聯系，需要教師補充相關內容；二是梳理知識并不等同于給出知識結構圖，更重要的是設計配套的作業來加強知識之間的聯系，即設計一些將不同知識點聯系起來的題目，讓學生通過完成這些題目使知識結構在頭腦中穩固地貯存下來。

（二）提供富有想象的思維空間

提供富有想象的思維空間有三層含義。一是指提供給學生的學習材料可以從多個角度認識：從表面認識到深度認識，從顯性信息的認識到隱性信息的認識，從孤立地認識到聯系地認識。這就與布魯納所說的“掌握信息本身并不是學習的目的，學習應該超越所給的信息”相契合。二是指提供給學生的問題有多種解決途徑，可以讓學生通過發散思維尋求解決問題的不同路徑。三是指要鼓勵學生對解答過的問題進行歸類分析，尋找貫穿一類題目的思想方法，也就是解決問題的通性通法，而不要糾纏于解決某個題目的技能技巧。這是課程標準反復強調的理念，需要在教學中貫徹落實。

例1觀察圖2，你能想到什么？

學生觀察這三個滑梯可能會發現：有的斜，有的平；有的陡，有的緩；有的高，有的矮；有的寬，有的窄……這些是圖中的顯性信息，那么，圖中的隱性信息是什么呢？

在教師的引導下，學生會考慮滑梯的設計是否合理的問題，進而思考：這個合理性用什么標準來判斷呢？這時，如果用數學的眼光來看待這三個滑梯，就會發現應當用滑梯的滑面與地面的夾角來判斷合理性，從而抽象出角的度量概念。

例2某地山洪暴發，河水上漲。鎮防災辦公室需要盡快打電話通知沿河的A村、B村、C村的村主任，讓他們迅速組織群眾轉移。但是，由于地勢偏僻，經濟不發達，鎮防災辦公室和四個村均只有一部電話，且通知一位村主任需要一分鐘。請你設計一個有效的打電話方案。

這個問題的答案是不唯一的：有效的方案有多種（如圖3所示）。其中，最快的方案也有多種（圖3中方案③的幾種等價形式）。

在此基礎上，教師可以進一步推廣問題：如果要通知8個村，最少需要多少分鐘？如果要通知15個村，最少需要多少分鐘？……你能否找到其中的規律？

（三）設置多元表征的問題情境

多元表征分為外部表征和內部表征。布魯納提出的表征系統屬于內部表征，即動作表征、表象表征和符號表征描述的是人的心理現象和行為表現。多元外部表征指提供多樣的、彈性的信息呈現方式：同一知識點或學習內容可以分別使用文本、圖片、聲音、動畫、多媒體等方式呈現出來，從而使學習障礙最小化，學習機會最大化。這些外部表征內化后，就演變成內部表征了。

設置多元表征的問題情境，可以從兩個方面開展：（1）在新知識學習階段，充分利用教育技術為學生提供視覺、聽覺等多方位的刺激，提供數學實驗場景讓學生多角度觀察、操作，進而理解概念和規則；（2）在問題解決階段，讓學生用多種方式表征問題，找到解決問題的最優方法。

例3一包糖果平均分給三個小朋友，如果每人吃掉4塊，那么三人剩下的糖果數之和恰好是原糖果數的1/3，問：原糖果有多少塊？

這個問題可以用不同的方式來表征。表征1：畫一個大圓，用它的面積表示原糖果數；把大圓三等分，每份即表示每個小朋友分得的糖果數；在大圓中再畫一個小同心圓，用小同心圓的面積表示三人剩下的糖果數之和，于是兩圓形成的圓環的面積便表示三人吃掉的糖果數之和，圓環被分成的三個等份表示三人分別吃掉的糖果數（如圖4所示）。表征2如圖5所示。這個表征更能準確地反映出題目所給的信息，更加通俗易懂。表征3：設原來糖果有x塊，則x－12=1/3x。

例4小紅有3件不同的上衣和2件不同的褲子，搭配起來有多少種不同的穿法呢？

這個問題也可以用不同的方式來表征（如圖6所示），包括用示意圖表征事物，用文字符號表征事物;靠在一起（利用位置）表征關系，連線表征關系，等等。

（四）提倡探究過程的學習方式

以知識為本的教學有一種思維定式，就是一定要讓學生學到某個知識點，或者掌握一種解題方法，即讓學生獲得一個“結果”。以素養為本的教學應突破這個定式，將“結果”與“過程”并重——有時候，讓學生經歷探究的過程比簡單地獲得一個結果更加重要，因為探究的過程本身就能發展學生的素養。

吳正憲老師上過一節“復式折線統計圖”的課［11］，她是這樣教學的——

首先，提出一個問題：

同學們喜愛足球運動嗎？足球運動中有一項重要的技術叫罰點球。五（1）班和五（2）班計劃進行一次罰點球比賽，看看哪個班的同學罰點球的水平高。五（1）班準備從甲、乙、丙三人中推薦一人作為代表，跟五（2）班比賽。他們三人在第一周每天的訓練后，都進行了一次點球比賽，每人罰10個點球，表2是進球的數據記錄。看了這張表，你準備推薦誰參賽？

學生每天進球數星期一星期二星期三星期四星期五甲26147乙45455丙23455然后，發放學習單，讓學生用統計圖作為分析工具，進行探究。

學生的意見產生了分歧：有的認為應從進球總數考慮，有的認為應從進球平均數考慮，有的認為要看進球的穩定性，有的認為要看進球的發展趨勢。最終，有學生提出：只有這一張表，還不能確定派誰作為代表。

于是，吳老師又提供了第二周訓練后的進球數據，讓學生繼續探究。

……

下課了，也沒有得到一個統一的答案。

這堂課特色很鮮明，采用的是問題開放教學模式：問題提出之后，一直沒有給出標準答案，而讓學生自由發揮，借助直觀想象和邏輯推理，提出自己的觀點，提出自己解決問題的方法。這堂課打破了學生解決數學問題一定要得到最終答案的思維定式，給學生留下了發散的思維空間，指向的是學生數據意識、幾何直觀、推理意識等數學核心素養的發展。

進一步來看，通過探究得到一個結論本身就是過程的體現，讓學生經歷這個探究過程是教學設計時必須考慮的因素。

例如，教學“三角形的面積公式”時，可以這樣讓學生經歷探究得到三角形面積公式的過程：

第一步，給出如圖7所示的三個圖，讓學生把每個圖沿一條對角線剪開，再觀察得到的兩個圖形有什么關系。學生可以發現：對角線把一個平行四邊形分成了兩個完全一樣的三角形，所以，兩個三角形的面積相等;進而，三角形的面積等于平行四邊形面積的一半，或者說，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍。

第二步，給出如圖8所示的三個圖，讓學生把每個圖沿一條對角線剪開，再思考所得三角形的底是多少，高是多少，面積是多少。學生可以發現：三角形的面積等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。

第三步，出示圖9，讓學生思考此時三角形的面積和平行四邊形的面積之間是什么關系，以及在平行四邊形的邊DE上移動三角形頂點A的位置時，這種關系會不會發生變化。通過一個三角形的變式演示，讓學生進一步體會到：任意一個三角形的面積都等于與它等底、等高的平行四邊形面積的一半。從而得到三角形面積公式：S=12ah。

參考文獻：

［1］［7］［8］ 布魯納.教育過程［M］.邵瑞珍，譯.北京：文化教育出版社，1982：31，28，3648.

［2］［3］ 施良方.學習論——學習心理學的理論與原理［M］.北京：人民教育出版社，1992：205，205.

［4］ 趙靜.布魯納的兒童智慧發展表征理論對小學數學螺旋課程教學的啟示［J］.現代教育科學，2018（9）：6770.

［5］ 邵瑞珍.布魯納的課程論［J］.外國教育資料，1978（5）：110.

［6］ 唐劍嵐.數學多元表征學習的認知模型及教學研究［D］.南京：南京師范大學，2008：18.

［9］ 中華人民共和國教育部.義務教育課程方案（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：11.

［10］ 侯學萍，陳琳.小學數學單元教學的整體設計［J］.教學與管理，2018（29）：4345.

［11］ 吳正憲，魯靜華，張秋爽，等.會說話的數據，讓決策有依據——“復式折線統計圖”課堂教學實錄［J］.小學教學（數學版），2019（11）：14-18.

*本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（小學）系列文章之十。