淺探圓錐擺問題

許文

如圖1所示，將不可伸長的輕繩一端固定，另一端系一個小球，讓小球獲得某一速度后，小球在水平面內做勻速圓周運動，在運動過程中輕繩掃過的形狀為一圓錐，則這個運動稱為圓錐擺運動。在生活中有很多類似圓錐擺的運動，以圓錐擺為背景的物理試題在近幾年的高考試卷中頻繁出現。分析圓錐擺的運動特點，探究圓錐擺的運動條件，研究圓錐擺的臨界狀態與極值問題，將有助于我們更好地將圓錐擺的運動規律應用到實際問題的求解中。

點評：鼓隨手柄勻速轉動，用輕繩系于鼓沿上的兩小球穩定時做與手柄轉動周期相同的圓錐擺運動。小球在水平面內做圓周運動的軌跡半徑為r+lsin θ。上述求解過程是基于小球做圓錐擺運動由重力和拉力的合力提供向心力得到關于T、θ 及h 的函數關系而得出的。若充分利用圓錐擺的周期由圓錐的高度與重力加速度決定這一特點，結合題給條件α<θ<β，畫出如圖5所示的小球做圓錐擺運動的圓錐高度H ，借助幾何圖形進行分析判斷，則很容易選出正確答案為C。

二、拓展模型

生產生活中有很多運動的受力特點與運動性質與圓錐擺類似，我們把這類運動均稱為類圓錐擺運動。生產生活中常見的類圓錐擺運動（彈力N 相當于圓錐擺基本模型中的繩子拉力T）有：

1.小球沿光滑漏斗內壁在水平面內做勻速圓周運動，受力情況如圖6甲所示。

2.套在光滑細桿上的小環隨桿在水平面內做勻速圓周運動，受力情況如圖6乙所示。

3.固定在彈性細桿一端的小球隨桿在水平面內做勻速圓周運動，受力情況如圖6丙所示。

4.小球穿在光滑豎直圓環上隨圓環在水平面內做勻速圓周運動，受力情況如圖7甲所示。

5.火車在內低外高的圓弧彎道路面上轉彎時內外軌均無側向擠壓，或汽車不受徑向摩擦力，在水平面內做勻速圓周運動，受力情況如圖7乙所示。

6.滑冰女運動員在男運動員的拉力作用下在水平面內做勻速圓周運動（女運動員恰好離開水平冰面），受力情況如圖7丙所示。

例2 某同學在乘坐列車的過程中研究列車的運動情況。他在車廂頂部用細線懸掛一個小熊玩具，當列車以恒定速率通過一段彎道時，發現懸掛小熊玩具的細線與車廂側壁平行，如圖8所示。下列判斷正確的是（ ）。

A.細線對玩具的拉力大小等于玩具的重力大小

B.外側軌道與輪緣間沒有側向擠壓作用

C.內側軌道與輪緣間沒有側向擠壓作用

D.如果知道轉彎處內、外軌道所在斜面的傾角，就可以求出列車轉彎時的速率

答案：BC

點評：小熊玩具隨列車一起做圓周運動，它們的向心加速度大小相同;根據小熊玩具的受力情況推知向心加速度的大小，根據列車的向心加速度大小推知列車此時做類圓錐擺運動，從而可判斷列車的受力情況。

三、臨界問題

臨界狀態是變化的物理量取某種特征值所表現出來的一種特殊狀態。當圓錐擺擺線長度一定時，其運動的角速度存在一個最小值;當圓錐擺運動的角速度一定時，圓錐擺的擺長也存在一個最小值。圓錐擺問題常見的臨界狀態如表1所示。

例3 如圖9所示，兩根輕繩AC、BC 同系一質量m =0.1 kg的小球，兩輕繩的另一端分別固定在豎直細桿上的A、B兩點，輕繩AC 的長度L=2 m，當兩輕繩均拉直時，兩輕繩與細桿間的夾角分別為α=30°和β=45°，取重力加速度g=10 m/s2。當小球隨桿一起以角速度ω=4 rad/s轉動時，兩輕繩對小球的拉力大小各為多少？

解析：小球在重力與輕繩拉力的作用下隨桿一起轉動時，小球做圓錐擺運動。當兩輕繩分別恰好拉直時對應著小球做圓錐擺運動的兩個臨界狀態。

若轉動角速度為ω1 時輕繩BC 恰好拉直，則此時輕繩AC 對小球的拉力FA 與小球重力mg 的合力提供小球做圓周運動所需的向心力，有mgtan α=mω21Lsin α，解得ω1=2.4 rad/s。

若轉動角速度為ω2 時輕繩AC 恰好拉直，則此時輕繩BC 對小球的拉力FB 與小球重力mg 的合力提供小球做圓周運動所需的向心力，有mgtan β=mω22Lsin α，解得ω2=3.15 rad/s。

因此當2.4 rad/s≤ω≤3.15 rad/s時，AC、BC 兩輕繩均處于繃緊狀態。因為ω=4 rad/s>ω2，所以此時輕繩AC 松弛，即FA =0。根據受力分析得FBcos β =mg，FBsin β= mω2r，根據幾何關系得r =LBCsin β=Lsin α，解得FB =2.26 N。

點評：小球做圓錐擺運動的角速度ω≤ω1 時輕繩BC 松弛，ω≥ω2 時輕繩AC 松弛。先通過對小球臨界狀態的分析得出兩個臨界角速度，再將題給角速度與臨界角速度相比較，即可確定小球的運動狀態，從而可求出兩輕繩對小球的拉力。

跟蹤訓練

1.智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛。智能呼啦圈的腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖10所示。可視為質點的配重質量為0.5 kg，繩長為0.5 m，懸掛點P 到腰帶中心點O 的距離為0.2 m，水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿在水平面內做勻速圓周運動，輕繩與豎直方向間的夾角為θ，運動過程中腰帶可視為保持不動，取重力加速度g =10 m/s2，下列說法中正確的是（ ）。

A.勻速轉動時，配重受到的合力恒定

B.若增大轉速，腰帶受到的合力變大

C.當θ 穩定在37°時，配重的角速度為5 rad/s

D.保持轉速不變，將配重的質量更換為1 kg時，則θ 不變

2.雙人花樣滑冰比賽是一項極具觀賞性的項目。比賽中，女運動員有時會被男運動員拉著離開冰面在空中做水平面內的勻速圓周運動，如圖11 所示。通過目測估計男運動員的手臂與水平冰面間的夾角約為45°，女運動員與其身上裝備的總質量約為45 kg，取重力加速度g =10 m/s2。僅根據以上信息，可估算（ ）。

A.女運動員的向心加速度約為10 m/s2

B.女運動員的角速度約為6.28 rad/s

C.男運動員對女運動員的拉力約為450 N

D.男運動員對冰面的壓力約為450 N

3.如圖12 所示，一根不可伸長的輕繩一端拴著一個小球，另一端固定在豎直桿上，當豎直桿以角速度ω 轉動時，小球隨桿一起做勻速圓周運動，此時輕繩與豎直方向間的夾角為θ。則圖13中關于ω 與θ 關系的圖像可能正確的是（ ）。

4.如圖14所示，一根細線一端系一小球，另一端固定在一光滑圓錐頂端。小球在水平面內做勻速圓周運動的角速度為ω，細線的張力為T，則T 隨ω2 變化的圖像是圖15中的（ ）

參考答案：1.D 2.A 3.D 4.C

（責任編輯 張 巧）