理清關系，建立模型

文／劉紀明

數學源于生活，又服務于生活。用二元一次方程組解決實際問題，需要經歷這樣的思維過程：用數學的眼光尋找實際問題中的數量關系→用數學思維建立數量之間的邏輯聯系→用數學語言描述并構建數學模型。下面我們列舉幾類與生活相關的題目，以幫助同學們理解。

一、實物信息題

例1體育器材室有A、B兩種型號的實心球。2 只A型球與3 只B型球的質量共18 千克；3 只A型球與1 只B型球的質量共13 千克。每只A型球、B型球的質量分別是多少？

這是一道相對簡單的實際問題，我們可以從題目中直接找到描述數量之間的相等關系的兩個語句，將問題轉化為兩個等量關系式。等量關系簡寫為：（1）2A+3B=18，（2）3A+1B=13。根據這兩個關系式，可以設未知數，列方程組。

解：設每只A型球、B型球的質量分別是x千克、y千克。

答：每只A型球、B型球的質量分別是3千克、4千克。

這是二元一次方程組的實際應用中常見的基礎情境，表示相等關系的語句是“并列式”呈現的，數量關系一目了然。

二、圖表方案題

例2如圖1，用8 塊相同的長方形地磚拼成一個大長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？

圖1

相對于問題1 中“顯性”的相等關系來說，這一情境中的相等關系“隱藏得夠深”，題設中沒有提及任何數量關系，需要我們從提供的圖形中“挖掘”。分析后不難發現：（1）每塊長方形地磚的長、寬之和為60cm；（2）每塊長方形的長是寬的3倍。

解：設每個長方形的長為xcm，寬為ycm。

答：每塊長方形地磚的長為45cm、寬為15cm。

幾何問題的相等關系一般隱藏在某些圖形的性質中，解答這類問題時應注意認真分析圖形特點，找出圖形的位置關系和數量關系，再列方程求解。

例3郵購每冊6元的某種雜志，郵寄費和優惠率如表1。兩次郵購這種雜志共200冊，總計金額1140 元。那么，兩次郵購雜志各多少冊？

表1

這道題目是蘇科版數學教材七（下）中的問題，部分信息采用表格的形式呈現，數量關系較為復雜。假設兩次都是100 冊，則總費用為2×100×6×90%=1080＜1140，所以一次郵購的冊數少于100，另一次多于100。我們可以列表來分析問題中蘊含的數量關系，如表2。

表2

解：設兩次郵購雜志分別為x冊、y冊。由題意得：

答：兩次郵購雜志分別為50冊、150冊。

當數量較多且關系較復雜時，我們可以采用列表的方法理清數量關系，從而達到化繁為簡、水到渠成的效果。

三、行程問題

例4甲、乙兩地相距200km，一輛汽車和一輛摩托車同時由甲、乙兩地出發相向而行，1h20min 后相遇，相遇后，摩托車繼續前進，汽車在相遇處停留一刻鐘后調轉車頭原速返回，又用了半小時追上摩托車（摩托車未到達甲地）。這時，汽車、摩托車各自行駛了多少千米？

此題的基本數量關系是：速度×時間=路程。對于該類型題目，我們可以借助線型示意圖來分析題目中的數量關系，如圖2。

圖2

答：汽車、摩托車分別行駛了165 千米、125千米。

解決此類行程問題，關鍵是借助線型示意圖將問題情境呈現出來，這樣可以使得數量關系清晰直觀，從而建立相應的模型。