經歷研究過程，積累學習經驗

文／朱月紅

第10章 二元一次方程組

初中階段我們學習的方程主要有一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程。同學們已經學習了一元一次方程，學習過程可以用下面的圖1來表示：

圖1

本章內容是一元一次方程的延伸，也是后續學習的基礎。類比一元一次方程的學習經驗，我們一起再次回顧本章的知識。

一、建立“二元一次方程組”概念

例1我國古代數學名著《孫子算經》中記載：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”

請同學們認真閱讀上面的問題并思考：

（1）哪些量是已知量？哪些量是未知量？（2）勾畫出題目中語句，題中有幾組等量關系？（3）在這個問題中有兩個未知量，如果設木條長x尺，繩子長y尺，你能根據等量關系列出什么樣的方程？

題目的意思是：用一根繩子去量一根木條，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1 尺，問木條長多少尺。題中有兩個未知量，含有兩組等量關系：繩長=木條長+4.5；繩長=木條長-1。我們借助列一元一次方程的經驗，根據等量關系“繩長=木條長+4.5”，能建立方程y=x+4.5；根據等量關系，能建立方程

我們類比一元一次方程的定義，可以歸納出兩個定義。

定義1：含有兩個未知數，且含有未知數的項的次數是1 的整式方程叫作二元一次方程；用大括號將兩個方程聯立在一起，就得到二元一次方程組，如定義2：共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程叫作二元一次方程組。該定義中的關鍵詞：①共有兩個未知數；②兩個一次方程。（你明白“共”的意思嗎？）方程由“元”和“次”確定，當“元”（未知數的個數）增加、“次”為一且不變時，我們就會得到二元一次方程、三元一次方程、……、n元一次方程；當“次”（未知數的最高次數）增加、“元”為一且不變時，就會得到一元二次方程、一元三次方程、……、一元n次方程。要想識別二元一次方程，我們只要按照定義比對，問題就會迎刃而解。“回到定義”是一種有效的解題策略。

二、認識“二元一次方程組”的解

例2x=5 且y=3 滿足方程5x+3y=34 嗎？x=2、y=8呢？

例3你能找到一組x、y的值，同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？

通過這兩題的解答，我們可以發現“解”的特征：二元一次方程的解是成對出現的，并且有無數個；二元一次方程組的解是兩個方程的公共解。

定義3：適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫作這個二元一次方程的一個解。定義4：二元一次方程組中各個方程的公共解叫作這個二元一次方程組的解。

例4解方程組

我們常常把新知識轉化為已經學過的舊知識。因此，求二元方程的解，理應從“二元”回歸“一元”，消元法應運而生。解二元一次方程組的基本方法有兩種，即代入法和加減法。注意事項主要有兩點：一是不可循環代入，二是解完方程需檢驗。

對于例4，由①得x=5-2y③；把③代入②，得2（5-2y）+y=7。解之，得y=1。把y=1代入①，得x=3。所以，原方程組的解是

二元一次方程中有兩個未知數，它們之間相互制約，導致一個二元一次方程有無數個解。為了使二元一次方程的解由無限到有限，再到唯一，我們可以把兩個二元一次方程放在一起組成二元一次方程組，再把二元一次方程組化歸成一元一次方程。一般情況下，二元一次方程組有唯一的解。感興趣的同學可以深究三元一次方程組、n元一次方程組，從三元到二元，最后化歸成最簡單的一元一次方程。那么，對于“元”不變、“次”增加的方程，如何來解呢？聰明的你有思路嗎？例4 也可以整體考慮：①+②→3x+3y=12……同學們，你有什么發現？

三、建立方程模型，解決實際問題

與一元一次方程一樣，二元一次方程組也是反映實際問題中數量關系的模型。同學們先回憶一下，利用一元一次方程解決實際問題的一般步驟有哪些？（設、找、列、解、答、驗）

例5《九章算術》是中國古代第一部數學專著，書中有這樣一題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。人數、物價各幾何？”大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元。有多少人？該物品價格是多少？

我們在分析問題時，可以畫出線型示意圖，幫助我們理解題意。不難發現，從“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”中可以得到相等關系，據此列出方程組即可。

列二元一次方程組解決問題，首先要理解題意，分析數量關系，找出相等關系，然后列出方程組。在建立方程組模型的過程中，可以直接從題中找相等關系，也可以借助表格、示意圖等方法進行分析。相等關系是解題的關鍵。

同學們，數學知識是相互聯系、螺旋上升的。類比一元一次方程，我們再想一想一元二次方程的研究路徑：實際問題→一元二次方程的定義→解（解法）→應用。相信同學們再遇“多元”或“高次”方程時能自主研究，從而解決問題。