基于解析法的農(nóng)機(jī)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)潤(rùn)滑特性分析*

蘇來博 ， 李 冰 ， 徐武彬 ， 高宇星 ， 李 錚

（1.廣西科技大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣西 柳州 545006；2.廣西土方機(jī)械協(xié)同創(chuàng)新中心，廣西 柳州 545006）

0 引言

隨著現(xiàn)代農(nóng)業(yè)機(jī)械的發(fā)展，農(nóng)機(jī)設(shè)備正向著高負(fù)載、高速度、高精度等方面發(fā)展，這對(duì)設(shè)備的整機(jī)性能提出了更高的要求。因此，對(duì)農(nóng)機(jī)的滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的承載能力、運(yùn)行穩(wěn)定性以及摩擦損耗等特性進(jìn)行研究尤為重要[1-5]。

王書茂等[6]基于數(shù)值解油膜力針對(duì)農(nóng)機(jī)轉(zhuǎn)子特點(diǎn)提出的3級(jí)轉(zhuǎn)速多平面矯正法，既簡(jiǎn)化了撓性轉(zhuǎn)子復(fù)雜的動(dòng)平衡步驟，又提高了轉(zhuǎn)子實(shí)際工況的動(dòng)平衡精度。袁雪鵬等[7]基于數(shù)值法研究了制造誤差對(duì)農(nóng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，但數(shù)值法迭代速度慢，使用不夠便捷。Jiao等[8]基于數(shù)據(jù)庫(kù)法對(duì)不平衡轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了非線性動(dòng)力學(xué)分析，但該方法需不定期更新數(shù)據(jù)庫(kù)，普遍性較差。黑棣等[9]基于無限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)軸承假設(shè)研究了柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為，并利用改進(jìn)后的Wilson-θ法研究了系統(tǒng)的非線性穩(wěn)態(tài)特性。馬曉棟[10]基于無限短農(nóng)機(jī)軸承研究了油膜溫度變化對(duì)臨界轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)發(fā)生渦動(dòng)和振蕩時(shí)對(duì)特性的影響。綜合上述研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，無限長(zhǎng)、無限短軸承模型不符合實(shí)際情況，誤差偏大。

因此，基于更加符合實(shí)際的有限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)軸承模型進(jìn)行潤(rùn)滑特性解析分析具有重要意義，不僅加快了運(yùn)算速度，也保證了精度。文章將對(duì)解析油膜力下的農(nóng)機(jī)軸承運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析，為提高轉(zhuǎn)子承載能力、系統(tǒng)穩(wěn)定性及降低摩擦損耗等方面提供參考。

1 農(nóng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)解析油膜力推算

1.1 軸承物理模型及油膜壓力分布方程

軸承周向截面圖如圖1（a）所示，軸承軸向平面視圖如圖1（b）所示。其中，O為軸瓦中心，Oj為軸頸中心，Rj為軸頸半徑，Φ0為位置角，θ為圓周方向坐標(biāo)，ω為軸頸自轉(zhuǎn)角速度，e為軸頸相對(duì)于軸瓦的偏心位移，h為液膜厚度，c為軸承徑向間隙，L為軸承寬度，Dj為軸頸直徑。

圖1 有限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)滑動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)模型

假設(shè)潤(rùn)滑流體粘度不變，且軸瓦與軸頸間腔體體積固定，軸承流體潤(rùn)滑的Reynolds方程可表示為：

對(duì)式（1）進(jìn)行無量綱化，引入以下無量綱參數(shù)：

式中，ps為無量綱油膜壓力，H為無量綱油膜厚度，ε為偏心率，λ為無量綱軸向坐標(biāo)，τ為無量綱時(shí)間，ε'為軸頸中心擾動(dòng)速度，θ'為軸頸周向變化速率。

將式（2）代入雷諾方程式（1），得到無量綱雷諾方程：

無量綱油膜厚度為：

將式（4）代入式（3）并進(jìn)行推導(dǎo)得到式（5）：

1.2 解析解油膜壓力求解

式（5）是關(guān)于三角函數(shù)的方程式，假設(shè)油膜壓力分布函數(shù)可以拆分為：

式中，pl(θ,ξ)為解析特解，ph(θ,ξ)為解析通解。

通過分離變量可得特解：

以乘法形式分離通解：

將式（6）至式（8）代入式（5）整理得：

由于油膜壓力特解滿足Reynolds方程，故有：

顯然，式（10）是關(guān)于變量θ、ξ的函數(shù)，通過分離變量法可將其拆分為兩個(gè)二階非齊次微分方程：

對(duì)式（12）積分可得：

由于該研究將與在Reynolds邊界條件下運(yùn)用有限差分法得到的結(jié)果進(jìn)行比對(duì)驗(yàn)證，故該研究為了實(shí)現(xiàn)條件統(tǒng)一，將使用Reynolds邊界條件。

軸承周向邊界條件：

軸向兩端邊界條件：

設(shè)S=0，由已知條件可知，當(dāng)ξ=λ=±1時(shí)，g(±1)=0，故式（13）中的系數(shù)為c1=c2=0。設(shè)一階函數(shù)Z(θ)為：

則式（11）可表示為：

對(duì)式（17）一階非齊次線性微分方程求解：

對(duì)式（18）進(jìn)行不定積分：

運(yùn)用Sommerfeld積分變換式求解式（19）：

由周向邊界條件可知：θ=θ0=0，φ(θ0)=0，θ=θ1，由條件θ=θ=0，φ(θ)=0，得00到c4：

由條件θ=θ1，φ(θ1)=0，得到c3：

由于θ與α是單映射關(guān)系，通過線性插值法求解α1。經(jīng)過以上推導(dǎo)可得到油膜壓力特解pl(θ,ξ)。

油膜壓力通解求解：將式（10）代入式（9）的非齊次方程中，可以得到以下方程式。

通過分離變量法可得：

將式（25）拆分可以得到：

設(shè)I=-k2，則求解式（26）可得：

把大氣壓設(shè)為0，根據(jù)Reynolds邊界條件，軸承在兩端的壓力為0，所以在軸承兩端的油膜壓力存在以下關(guān)系：

通過式（29）可得到軸承兩端軸向油膜壓力通解：

因此：

軸向油膜壓力分布函數(shù)求解：根據(jù)式（30）邊界條件，式（28）中的常數(shù)如下式：

將式（32）代入式（28）可得：

將式（31）代入式（24）可得：

與式（11）聯(lián)立，可得：

通解的表達(dá)式為式（36）。

將式（20）與式（36）代入式（6）得油膜壓力表達(dá)式，即式（37）。

2 算例分析

2.1 油膜壓力特解和通解算例

圖2（a）、圖2（b）分別為位置角Φ0=30°，長(zhǎng)徑比L/Dj=1，偏心率ε=0.3，x'=y'=0，徑向間隙c=0.381 mm，角速度ω=398 rad/s時(shí)的軸承無量綱油膜壓力特解分布圖和通解分布圖；軸承基本參數(shù)如表1所示。

表1 軸承基本參數(shù)

圖2 油膜壓力特解pl(θ,z)和通解ph(θ,z)分布圖

由圖2（a）可以看出，油膜壓力特解在軸向上是不變的，在位置角為180°時(shí)達(dá)到最大峰值。由圖2（b）可以看出，油膜壓力通解在λ=0處呈對(duì)稱分布，越往軸承兩側(cè)壓力越小。

2.2 擬合油膜壓力特解和通解

位置角Φ0=30°，長(zhǎng)徑比L/Dj=1，偏心率ε=0.3，x'=y'=0，徑向間隙c=0.381 mm，角速度ω=398 rad/s時(shí)，全圓瓦軸承無量綱油膜壓力分布如圖3所示。

圖3 油膜壓力p(θ,z)沿周向和軸向坐標(biāo)上的三維分布圖

通過圖3可以看出，周向最大油膜壓力在θ=90°處，越靠近軸承兩端油膜壓力越趨于0，且油膜壓力梯度在軸承中心處最大。

3 農(nóng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)行特性分析

3.1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承載特性

Sommerfeld數(shù)是用來描述轉(zhuǎn)子系統(tǒng)承載特性的重要參數(shù)。當(dāng)水平安裝的系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定時(shí)，油膜壓力水平分量Fx=0，通過公式（38）可以得到Sommerfeld數(shù)。

式中，μ為潤(rùn)滑油粘度；n為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；L為軸承寬度；Dj為軸頸直徑；F為軸承載荷；Rj為軸頸半徑。

有限長(zhǎng)、無限短、無限長(zhǎng)三種農(nóng)機(jī)軸承模型基于解析解油膜力的Sommerfeld數(shù)隨偏心率變化的對(duì)比圖如圖4所示。可以看出，同等偏心率條件下，無限長(zhǎng)軸承模型承載能力最強(qiáng)，其次是有限長(zhǎng)軸承模型、無限短軸承模型。隨著偏心率的增大，有限長(zhǎng)軸承模型的承載能力增大，并且與無限短軸承模型變化的趨勢(shì)和速率相近。

圖4 不同農(nóng)機(jī)軸承模型Sommerfeld數(shù)與偏心率關(guān)系對(duì)比

3.2 能量損失特性

滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的潤(rùn)滑方式為油潤(rùn)滑，在轉(zhuǎn)子運(yùn)行過程中，軸瓦和軸頸之間充滿油液，所以軸頸和油膜會(huì)產(chǎn)生摩擦，具有一定的摩擦功率損耗。滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的摩擦損耗對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行和軸承溫度的升高有很大的影響。摩擦功率損失計(jì)算表達(dá)式為：

式中，F(xiàn)f為軸承摩擦力，Ut為軸頸切向轉(zhuǎn)速，Rj為軸頸半徑；L為軸承寬度；ω為轉(zhuǎn)子角速度。

能量損失曲線對(duì)比圖如圖5所示，在偏心率相同的情況下，長(zhǎng)徑比越大，系統(tǒng)能量損失越大；能量損失隨著偏心率的增加而減小。無限短軸承的能量損失幾乎為0，這與軸承系統(tǒng)工作情況嚴(yán)重不符，所以不采納該模型；無限長(zhǎng)軸承在整個(gè)偏心率范圍內(nèi)能量損失過大，尤其是當(dāng)偏心率小于0.3時(shí)，能量損失急劇上升，所以該軸承模型的潤(rùn)滑特性理論不能應(yīng)用于實(shí)際工程。有限長(zhǎng)軸承能量損失變化一直維持在正常水平并趨于穩(wěn)定，偏心率越小，能量損失越大，故有限長(zhǎng)軸承模型的解析潤(rùn)滑特性更加符合實(shí)際。

圖5 不同農(nóng)機(jī)軸承模型的能量損失特性對(duì)比

4 結(jié)論

通過Sommerfeld變換、分離變量法以及雷諾邊界條件得到了有限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)軸承的非線性油膜力。并以無限短、無限長(zhǎng)、有限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)軸承模型為研究對(duì)象，分析了其在解析油膜力的基礎(chǔ)上農(nóng)機(jī)系統(tǒng)的承載特性和能量損失情況。結(jié)果表明：同等偏心率條件下，無限長(zhǎng)軸承模型承載能力最強(qiáng)，其次是有限長(zhǎng)、無限短軸承模型。Sommerfeld數(shù)在偏心率在0.3~0.7之間時(shí)變化率最低，承載能力穩(wěn)定。長(zhǎng)徑比越大，系統(tǒng)能量損失越大；偏心率在0.5~0.7之間時(shí)三種模型能量損耗比較穩(wěn)定，偏心率區(qū)間轉(zhuǎn)子運(yùn)行穩(wěn)定。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，無限長(zhǎng)、無限短軸承模型運(yùn)行特性的誤差較大，故不能采用；有限長(zhǎng)農(nóng)機(jī)軸承模型解析油膜力更加貼合實(shí)際，計(jì)算速度快，準(zhǔn)確性高，可以為農(nóng)機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的故障檢測(cè)提供可靠的理論支持。