直擊圓錐曲線易錯(cuò)點(diǎn)

李昭平

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它涉及面廣、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，解題中往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，有的錯(cuò)誤還不易察覺.現(xiàn)列舉六大易錯(cuò)點(diǎn)，后期復(fù)習(xí)注意防范．

易錯(cuò)點(diǎn)1.忽視對(duì)參數(shù)的分類討論

例1.已知雙曲線的漸近線方程為3x±2y=0，兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是8，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

錯(cuò)解： 由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是9x2-4y2=k（k≠0），

即x2k9-y2k4=1.于是，8=2k3，解得k=144.故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216-y236=1．

剖析：本題誤認(rèn)為k>0，漏掉k<0的情形，因忽視對(duì)參數(shù)k的分類討論致錯(cuò).k的符號(hào)決定了頂點(diǎn)在x軸上還是在y軸上.帶有參數(shù)的圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)值將影響焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸、長(zhǎng)軸、短軸、實(shí)軸、虛軸的位置，要做到周密思考，注意對(duì)參數(shù)的分類討論．

正解：當(dāng)k>0時(shí)，就是上述解答．

當(dāng)k<0時(shí)，方程為y2-k4-x2-k9=1.于是8=2-k2，解得k=-64.

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x216-y236=1或y216-x2649=1．

易錯(cuò)點(diǎn)2. 忽視軌跡的純粹性

例2.橢圓x2+3y2=1中斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是__________________．

錯(cuò)解： 設(shè)平行弦的兩個(gè)端點(diǎn)是A（x1，y1），B（x2，y2），則x21+3y21=1，

x22+3y22=1，

相減得，（x1+x2）（x1-x2）+3（y1+y2）（y1-y2）=0，所以y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-13，

即2·2y2x=-13，x+6y=0．

故斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是x+6y=0．

剖析：橢圓弦的中點(diǎn)應(yīng)該在橢圓內(nèi)部，其軌跡直線x+6y=0上不在橢圓內(nèi)的均為暇點(diǎn)（有無(wú)數(shù)多個(gè)）.本題因忽視軌跡的純粹性致錯(cuò)，必須去掉這些暇點(diǎn)．

正解： 同上得到x+6y=0. 聯(lián)立x2+3y2=1

x+6y=0解得，x=±23913.

故斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程是x+6y=0-23913

易錯(cuò)點(diǎn)3. 忽視直線與圓錐曲線是否相交

例3.過(guò)點(diǎn)P（0，2）作斜率為k的直線l交橢圓x23+y22=1于點(diǎn)P1，P2， 當(dāng)k為何值

時(shí)， 線段P1P2的中點(diǎn)在直線x=1上？

錯(cuò)解： 由題意可設(shè)l的方程為y=kx+2.

聯(lián)立 x23+y22=1，

y=kx+2， 消去y，得（2+3k2）x2+12kx+6=0.顯然2+3k2≠0.

設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）， 則x1+x2=-12k2+3k2=2，即3k2+6k+2=0，

解得k=-1±33.故k=-1±33時(shí)，線段P1P2的中點(diǎn)在直線x=1上．

剖析：消元后的二次方程（2+3k2）x2+12kx+6=0根的判別式Δ=3k2-2，Δ的符號(hào)依賴于k的取值. 應(yīng)該考慮k能否使△>0， 即直線l是否與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).本題因忽視直線與圓錐曲線是否相交致錯(cuò)．

正解： 同上得到，k=-1±33.

由Δ=3k2-2>0，得k<-63或k>63， 顯然k=-1-33適合，而k=-1+33不適合，應(yīng)舍去. 故k=-1-33時(shí)，線段P1P2的中點(diǎn)在直線x=1上．

易錯(cuò)點(diǎn)4. 忽視圖形位置的多種情形

例4. 拋物線y2=4px（p>0）的焦點(diǎn)為F，P為其上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若ΔOPF為等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.6個(gè)

錯(cuò)解：因?yàn)棣PF為等腰三角形，所以PO=PF，點(diǎn)P在線段OF的中垂線上，點(diǎn)P的位置有兩個(gè).故選A．

剖析：本題誤認(rèn)為PO=PF，而忽視OP=OF，F(xiàn)O=FP兩種情形致錯(cuò).圓錐曲線中有很多動(dòng)態(tài)圖形的位置是不定的，注意全方位思考，否則極易漏解．

正解：由于ΔOPF是等腰三角形，則有下列三種情形：

（1）當(dāng)PO=PF時(shí)，就是上述解答.

（2）當(dāng)OP=OF時(shí)，點(diǎn)P的位置也有兩個(gè)．

（3）當(dāng)FO=FP時(shí)，點(diǎn)P不存在．

事實(shí)上，若設(shè)P（x0，y0），則FO=FP就是x0+p=p，x0=0，不構(gòu)成三角形．

綜上知，滿足條件的點(diǎn)P有4個(gè)，故選C．

易錯(cuò)點(diǎn)5. 忽視對(duì)直線斜率是否存在或是否為零進(jìn)行討論

例5.已知定圓A：（x+3）2+y2=16的圓心為A，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B（3，0），且和圓

A相切，動(dòng)圓的圓心M的軌跡記為C．

（1）求曲線C的方程；

（2）若點(diǎn)P（x0，y0）為曲線C上一點(diǎn)，試探究直線l：x0x+4yy0-4y0=0與曲線C是否存在交點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

錯(cuò)解： （1） 利用橢圓的定義易得曲線C的方程為x24+y2=1.

（2）由x0x+4yy0-4y0=0，得y=4y0-x0x4y0，聯(lián)立方程組y=4y0-x0x4y0，

x24+y2=1，消去y，得（4y20+x20）x2-8x0y0x=0……①

由點(diǎn)P（x0，y0）在曲線C上，得x204+y20=1，即4y20+x20=4.于是方程①可以化簡(jiǎn)為4x2-8x0y0x=0，解得x=0，或x=2x0y0.將x=0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=1；將x=2x0y0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=2-x202.

故直線l與曲線C總有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（2x0y0，2-x202）.

剖析： 本題中直線x0x+4yy0-4y0=0的斜率是否存在，依賴于y0是否為零，必須分類討論，否則無(wú)法解方程組x204+y20=1，

x0x+4yy0-4y0=0，在處理直線方程問題時(shí)，要注意對(duì)直線方程各種形式中斜率存在、不存在和斜率是否為零等情況的討論．

正解： 當(dāng)y0≠0時(shí)， 就是上述結(jié)果．

當(dāng)y0=0時(shí)，由x204+y20=1可得x0=±2. 此時(shí)直線l的方程為：x=0，與曲線C

有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（0，-1）.顯然y0=0時(shí)，y=2-x202=-1．

綜上知，直線l與曲線C總有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（2x0y0，2-x202）.

易錯(cuò)點(diǎn)6. 忽視題目中的隱含條件

例6.直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓C：x24+y2=1交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓C的下頂

點(diǎn)，且PA=PB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

錯(cuò)解： 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x2+4y2-4=0，

y=kx+m，消去y得到，

x2+4（kx+m）2-4=0，即（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0.則x1+x2=-8km1+4k2，

y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m1+4k2，弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-4km1+4k2，m1+4k2）．

由Δ=64k2m2-16（m2-1）（1+4k2）>0，得4k2m2-（m2+4k2m2-1-4k2）>0，即1+4k2>m2．

另一個(gè)方面，直線PM的方程是y=-1kx-1.點(diǎn)M（-4km1+4k2，m1+4k2）在此直線上，

得到m1+4k2=-1k（-4km1+4k2）-1，整理得，3m=1+4k2.代入1+4k2>m2中，m2-3m<0，0

故實(shí)數(shù)m的取值范圍（0，3）．

剖析：設(shè)點(diǎn)設(shè)線、聯(lián)立消元、韋達(dá)定理、根的判別式、條件轉(zhuǎn)換、建立方程或不等式等等， 是處理圓錐曲線綜合題的基本方法，本題都做到了. 但在最后求實(shí)數(shù)m的取值范圍時(shí)，僅考慮k，m應(yīng)滿足的不等式1+4k2>m2，而忽視k，m應(yīng)滿足的方程3m=1+4k2這一個(gè)重要的隱含條件致錯(cuò)．

正解： 同上得到，01，k≠0，所以3m>1，m>13.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍（13，3）．

訓(xùn)練1： 已知定圓A：（x+1）2+y2=8，動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)B（1，0），且和圓A相切．

（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；

（2）若直線l：y=kx+m（k≠0）與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

N（0，-12），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

易錯(cuò)點(diǎn)： 易忽視橢圓的定義這個(gè)隱含條件，使運(yùn)算復(fù)雜；易忽視參數(shù)k，m滿足的方程這個(gè)隱含條件．

解析：（1）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r1=22．

設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r2，依題意有r2=|MB|.由｜AB｜=2，可知點(diǎn)B在圓A內(nèi)，從而圓M內(nèi)切于圓A，故|MA|=r1-r2，即 ｜MA｜+｜MB｜=22>2. 所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E是以A、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為22的橢圓.

因?yàn)閍=2，c=1，所以b2=a2-c2=1.于是E的方程是x22+y2=1.

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立x2+2y2-2=0

y=kx+m消去y得到，

x2+2（kx+m）2-2=0，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．

則x1+x2=-4km1+2k2，y1+y2=k（x1+x2）+2m=2m1+2k2，

弦AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-2km1+2k2，m1+2k2）．

由Δ=16k2m2-8（m2-1）（1+2k2）>0得， 1+2k2>m2.

另一個(gè)方面，直線PM的方程是y=-1kx-12.點(diǎn)M（-2km1+2k2，m1+2k2）在此直線上，

得到m1+2k2=-1k（-2km1+2k2）-12，整理得，2m=1+2k2.代入1+2k2>m2中，m2-2m<0，01，k≠0， 所以2m>1，m>12.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（12，2）.

訓(xùn)練2： 已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，求證：1｜AF｜+1BF為定值．

易錯(cuò)點(diǎn)：易忽視直線斜率不存在情形的證明．

證明：（1）若直線AB的斜率不存在，則AB⊥x軸，

AB是拋物線的通經(jīng).所以AF=BF=p，

于是1AF+1BF=1p+1p=2p.

（2） 若直線AB的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），直線AB的方程為y=k（x-p2）.代入y2=2px得，k2（x-p2）2=2px， 即k2x2-（k2p+2p）x+14k2p2=0. 所以x1+x2

=k2p+2pk2，x1·x2=14p2.由拋物線的焦半徑公式有AF=x1+p2，BF=x2+p2.于是

1AF+1｜BF｜=1x1+p2+1x2+p2

=x1+x2+px1·x2+p2（x1+x2）+14p2=k2p+2pk2+p14p2+p2·k2p+2pk2+14p2

=4k2p+4pp2k2+k2p2+2p2=4p（k2+1）2p2（k2+1）=2p.

綜合（1）（2）可知， 1AF+1BF為定值2p.

責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)