分形：驚艷世界

萬廣磊 摘編

分形不僅美，能引起“極度的舒適感”，而且蘊藏著高深的數學奧秘。今天，咱們來研究研究，到底什么是分形。

分形的猜想

20 世紀初，英國數學家劉易斯·弗萊·理德查森在研究海岸線的時候，第一次發現了分形的奧秘。他發現，一條海岸線的長度不是絕對的，它取決于你用什么樣的尺子來測量。考慮到海岸線被沖刷成不規則圖形，你采用的測量儀器越精密，這條海岸線就越長。這就產生了一個悖論：有限的面積，卻有著無限的周長。

1904 年，瑞典數學家科赫提出：取一個三角形（雖然沒有規定，但通常默認為是正三角形），在每一條邊的兩個三等分點之間，接上一個邊長只有其三分之一的小三角形。如此無限循環，最終可以得到雪花的形狀。這就是著名的科赫三角形，或者叫作科赫曲線。

和科赫三角形正好相反，波蘭數學家謝爾賓斯基在1915 年提出的謝爾賓斯基三角形，則是將小三角形放在了內部。

直到1975 年，芒德勃羅在法蘭西學院講課時，首次提出了分形的設想。

什么是分形

分形通常被定義為“一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小后的形狀”。

就像剛才說的海岸線的巖石，當你看得足夠細微時，它的每一個棱角都像一座小島的海岸線。又如科赫三角形，你看到的每一個小三角形都附著在一個更大的、同形狀的三角形上，同時又被更小的三角形以同樣的方式附著。這種現象，被稱作自相似性。

生活中的分形

分形不僅僅是數學家們一時興起畫出來的。在自然界中，分形可以說是隨處可見。

計算機軟件創造的分形

利用計算機軟件，不斷重復簡單公式的計算，就能創造出意想不到的效果。蘇格蘭藝術家湯姆·貝達德用計算機做出的法貝熱彩蛋，外表驚艷，放大后細看，會發現其包含很多的相似結構。