一道中考壓軸題的多種解法

文／黃學(xué)維

原題呈現(xiàn) （2022 年蘇州中考第8 題）如圖1，點A的坐標(biāo)為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC。若點C的坐標(biāo)為（m，3），則m的值為（）。

圖1

這是一道選擇壓軸題，圖形簡單，但很難入手。如果我們細(xì)細(xì)品味一番，會發(fā)現(xiàn)別有一番滋味，值得深入研究。

一、利用兩點之間距離公式，建立方程（組）求解

解：連接BC，如圖2。

圖2

設(shè)點B坐標(biāo)為（a，0），由旋轉(zhuǎn)得△ABC是等邊三角形，得AB=BC=AC。

∴a2+4=（m-a）2+9=m2+1。

整理，得3m4-22m2-25=0。

∴（3m2-25）（m2+1）=0。

用勾股定理很容易得到平面直角坐標(biāo)系下兩點之間的距離公式。這個公式在很多問題中弱化了構(gòu)圖，而其本質(zhì)還是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。

二、利用矩形框“斜向三角形”，建立方程解決問題

解：連接BC，過點C作CD⊥x軸于點D，CE⊥y軸于點E，如圖3。

圖3

易得OA=2，AE=1，CE=OD=m，CD=3。由旋轉(zhuǎn)得△ABC是等邊三角形，

整理，得3m4-22m2-25=0。

∴（3m2-25）（m2+1）=0。

三、巧用圖形的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造特殊三角形，利用三角函數(shù)求解

平面坐標(biāo)系中處理“斜向三角形”（三條邊均不與坐標(biāo)軸平行或重合）問題的常用方法是用矩形將目標(biāo)三角形框起來，然后根據(jù)勾股定理計算相關(guān)的線段，利用線段的和、差列方程解決問題。但是這個方程是無理方程，我們可以通過兩邊同時平方的方法得到一個4 次方程，再運用因式分解分成兩個2 次方程，這對計算能力要求較高。

前面兩個方法的共性是思維難度低，但計算難度高。因此，我們在平時的學(xué)習(xí)和備考中不能忽視計算能力的培養(yǎng)。

解：過點A作y軸的垂線，過點C作x軸垂線，兩線相交于點D，將△ACD繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°得△ABE，設(shè)AE交x軸于點F，如圖4。

圖4

根據(jù)題意，容易得到BE=CD=1，AD=AE，∠OAE=90°-60°=30°。

四、巧妙構(gòu)造外接圓，通過解直角三角形求解

解：連接BC，作△ABC的外接圓交x軸于另一點D，連接AD、CD，作CE⊥x軸于點E，如圖5。

圖5

由旋轉(zhuǎn)可知△ABC是等邊三角形。

∵∠ADC=∠ABC=60°，∠BDC=∠BAC=60°，

∴∠ADO=180°-∠ADC-∠BDC=60°。

在Rt△ADO中，OA=2，∠ADO=60°，

在Rt△DCE中，CE=3，∠CDE=60°，

構(gòu)造△ABC的外接圓，由同弧所對的圓周角相等可巧妙求出∠ADC，再構(gòu)造Rt△ADO和Rt△DCE，求出OD和DE，從而求得OE。該方法構(gòu)造是前提，在充分運用圓的性質(zhì)基礎(chǔ)上，靈活運用了知識之間的內(nèi)在關(guān)系。

在平時的學(xué)習(xí)中，我們要不斷積累解決綜合題的方法和技巧，學(xué)會用代數(shù)和幾何的方法綜合分析問題，根據(jù)自己的基礎(chǔ)知識和能力素養(yǎng)靈活選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。