破解坐標系中的“旋轉”變換問題

文／江美紅

同學們，當你遇到坐標系中的“旋轉”變換問題時，是否感到“無從下手”或者“困難重重”？此類問題是中考的熱點和難點。想要破解它，我們需結合圖形自身的特點，根據旋轉的性質找到旋轉過程中的“變化量”和“不變量”，構造“K 字型”，利用三角形全等或相似的知識來解決。下面，讓我們一起來看看“K字型”的魔力吧！

一、旋轉角度為直角

1.定點繞定點旋轉

例1 如圖1，直線y=x+1 與x軸、y軸分別相交于點A、B，將直線AB繞點B順時針旋轉90°，在旋轉后的直線上截取BC=2BA，則點C的坐標為______。

圖1

圖2

【思路分析】如圖2 所示，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，構造“K 字型”。由BC=2BA，OA=1，根據△BCD∽△ABO，可得CD=BD=2，所以點C的坐標為（-2，3）。

【反思歸納】解決本題的關鍵是求出線段CD、BD的長度。根據∠ABC=∠AOB=90°，且BC=2BA，作CD⊥y軸構造“K 字型”，利用相似三角形的知識直接求出線段的長度，再轉化為點的坐標。

2.動點繞定點旋轉

例2 如圖3，在平面直角坐標系中，Q是直線y=-+2 上的一個動點，將Q繞點P（1，0）順時針旋轉90°，得到點Q′，連接OQ′，則OQ′的最小值為。

圖3

圖4

【反思歸納】解決本題的關鍵是表示出點Q′的坐標。題中點Q是直線上的一個動點，點Q′隨著點Q的運動而運動。解決此類問題的策略是以“靜”制“動”，將直線上的動點Q看作一個定點，設點Q的含參坐標，根據PQ=PQ′，∠QPQ′=90°，構造“K 字型”，利用三角形全等的知識得出點Q′的坐標，再構建目標函數求出最值。

3.定點繞動點旋轉

例3 在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-2，3），將點A繞點C順時針旋轉90°得到點B。若點B的坐標是（5，-1），則點C的坐標是________。

【思路分析】先畫出如圖5 所示的圖形，再構造如圖6所示“K字型”。設點C的橫坐標為a，則DC=a+2，CE=5-a。根據△ADC≌△CEB，可得BE=a+2，AD=5-a，列出方程a+2+4=5-a，解得a=-，所以點C的坐標為（-）。

圖5

圖6

【反思歸納】解決本題的關鍵是確定旋轉中心的位置，畫出圖形，再構造“K 字型”，然后設點C的橫坐標，利用三角形全等的知識，列出方程，得出點C的坐標。

二、旋轉角度為非直角

例4 如圖7，點A、點B的坐標分別為（0，4）、（3，0），將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉α得到線段AC。若tanα=2，則點C的坐標為________。

圖7

圖8

【反思歸納】解決旋轉角度為非直角問題的策略是通過添加輔助線，將旋轉角置于直角三角形中，再構造“K 字型”來解決問題。這里也可過點C作AC的垂線，但因點C坐標未知，所以在點C處構造“K 字型”解決問題較上面方法會煩瑣一些。

通過以上四道例題的分析，同學們是否找到了破解坐標系中“旋轉”變換問題的妙招？構造“K 字型”是快速攻破此類問題的關鍵。若旋轉角度為直角，則可直接構造“K 字型”，利用三角形全等或相似的知識解決問題；若旋轉角度為非直角，則先作出直角，轉化為旋轉角度為直角的問題。同學們在平時的學習中，要善于總結解題策略，做到“會一道，通一類”，提升學習效果。