坐標(biāo)系中圖形變換的解題策略和方法

文／張 麗

圖形的變換主要包括軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移等幾個方面。其中，對稱常見的考查形式多以折疊為主，有時也會與特殊圖形結(jié)合在一起出現(xiàn)；旋轉(zhuǎn)的考查面比較廣，常見的考查形式為與特殊三角形或特殊四邊形結(jié)合出現(xiàn)在綜合題中。

知識點一、軸對稱

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OBCD的頂點O、B、C的坐標(biāo)分別為（0，0）、（20，0）、（20，10），在線段OC、OB上各有一動點M、N，則當(dāng)BM+MN取最小值時，點M的坐標(biāo)是。

圖1

【解析】由于BM+MN不在同一直線上，所以我們要想辦法把它們轉(zhuǎn)化到同一直線上。作點B關(guān)于OC的對稱點B′，連接B′N，交OC于點M，如圖2。這時，根據(jù)“兩點之間線段最短”可以得到BM+MN的最小值為B′M+MN=B′N。

圖2

圖3

因為N是x軸上的一個動點，B′是x軸外的一個定點，根據(jù)“直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短”，可以得到當(dāng)B′N⊥x軸時（如圖3），BM+MN的值最小。根據(jù)條件，計算得BB′=8。又因為△BB′N與△COB相似，可得BN=8，所以得到ON=12，MN=6，點M的坐標(biāo)是（12，6）。

【點評】本題屬于動點背景下的軸對稱變換問題。我們應(yīng)注意折疊前后所對應(yīng)的圖形，抓住它們之間的不變關(guān)系及其性質(zhì)來尋找相等的量。同時，本題還綜合利用了“兩點之間線段最短”“垂線段最短”等知識點來解決問題。

知識點二、旋轉(zhuǎn)

例2 如圖4，將線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′B′，那么A（-2，5）的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是。

圖4

【解析】∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到線段A′B′，∴△ABO≌△A′B′O，∠AOA′=90°，AO=A′O。

作AC⊥y軸于點C，A′C′⊥x軸于點C′，如圖4，則∠ACO=∠A′C′O=90°。

∵∠COC′=90°，∴∠AOC=∠A′OC′。

∴△ACO≌△A′C′O（AAS）。

∴AC=A′C′，CO=C′O。

∵A（-2，5），∴A′（5，2）。

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)的運用、點的坐標(biāo)的運用等知識，構(gòu)造三角形全等是解決本題的關(guān)鍵。

變式 將含有30°角的直角三角板OAB放置在平面直角坐標(biāo)系中，如圖5，OB在x軸上，若OA=2，將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為。

圖5

【解析】如圖6，過點A′作A′C⊥OB于點C。

圖6

∵將三角板繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)75°，

∴∠COA′=45°，OA′=OA。

【點評】解題的關(guān)鍵是首先根據(jù)題意找到點A′的位置，然后依據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義和性質(zhì)得到OA′的長和∠COA′的度數(shù)，再利用特殊銳角三角函數(shù)值求解。其中，∠COA′=45°是解題的重要突破口。

知識點三、平移

例3 如圖7，已知A、B的坐標(biāo)為（2，0）、（0，1），如果把線段AB平移至A1B1，那么a+b的值為（）。

A.2B.3C.4D.5

圖7

【解析】根據(jù)點B平移后的縱坐標(biāo)變化、點A平移后的橫坐標(biāo)變化，可以得到線段AB的平移規(guī)律：向上平移1 個單位，再向右平移1 個單位（或先向右移，再向上移）。由此，我們可以知道線段上每一個點均按此規(guī)律平移，可得a=0+1=1，b=0+1=1，所以a+b=2。故選A。

【點評】本題主要考查了坐標(biāo)系中點、線段的平移規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)系中，整個圖形的平移情況和圖形中某一點的平移情況是相同的。平移中點的變化規(guī)律是：圖像向右移動，點的橫坐標(biāo)則加；圖像向左移動，點的橫坐標(biāo)則減。圖像向上移動，點的縱坐標(biāo)則加；圖像向下移動，點的縱坐標(biāo)則減。