源于定位且高于定位的坐標(biāo)系

文／龔輝

幾何始于土地丈量，研究的是圖形，與代數(shù)的發(fā)展仿佛是兩條平行線。笛卡爾這位大咖的登場(chǎng)，讓我們迎來(lái)幾何與代數(shù)完美結(jié)合的高光時(shí)刻。

笛卡爾發(fā)明了坐標(biāo)系，用這把金鑰匙開(kāi)啟了解析幾何的大門。據(jù)傳說(shuō)，笛卡爾發(fā)明坐標(biāo)系源于墻角的蜘蛛結(jié)網(wǎng)，而現(xiàn)在，電影院里的幾排幾座、地理上的經(jīng)緯定位等，都有坐標(biāo)系的身影。其實(shí)，我國(guó)早在西晉時(shí)期，裴秀主編的《禹貢地域圖》中，就講述繪制地圖的六項(xiàng)原則，即著名的“制圖六體”。可見(jiàn)當(dāng)時(shí)我國(guó)的定位技術(shù)已經(jīng)非常成熟，但可惜裴秀沒(méi)有再深入一步形成坐標(biāo)系，否則那可要比笛卡爾還早1300多年呢。

下面我們結(jié)合幾道題目，看看笛卡爾的坐標(biāo)系給我們的幾何學(xué)習(xí)提供多少便捷的方法。

一、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與數(shù)軸

數(shù)軸的本質(zhì)是一條動(dòng)了“手腳”的直線，有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度。正是這三個(gè)元素，讓這條不起眼的直線得以超凡脫俗，成為一維空間上數(shù)形結(jié)合的利器。

例1 如圖1，A、B兩點(diǎn)間的距離為12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s 的速度由A→B→A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s 的速度由B→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）。當(dāng)t的值為多少時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相距3cm？

圖1

【思路分析】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是常見(jiàn)的考點(diǎn)。如果把線段AB放在數(shù)軸上，就可以將點(diǎn)與數(shù)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，再利用數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)之間距離的規(guī)律（公式），就可以很方便地得到方程，從而得解。

在將線段放置在數(shù)軸上的時(shí)候，以對(duì)稱的方法把AB的中點(diǎn)放在數(shù)軸的原點(diǎn)O處，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算（如圖2）。

圖2

我們可以將各個(gè)點(diǎn)所代表的數(shù)用數(shù)字或字母一一表示出來(lái)：A表示-6，B表示6，Q表示6-t，P到達(dá)點(diǎn)B前為-6+2t，到達(dá)點(diǎn)B后為6-（2t-12）。則當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B前，若兩點(diǎn)相距3cm，可得方程（|6 -t）-（- 6 + 2t）|=3，解得t=3，t=5；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B返回時(shí)，可得方程（|6 -t）-（18 - 2t）|=3，解得t=9，t=15（因?yàn)榉祷貢r(shí)6＜t≤12，故t=15 舍去）。綜上所述，當(dāng)t的值為3、5、9時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相距3cm。

【反思點(diǎn)評(píng)】從幾何角度解決這個(gè)問(wèn)題需要觀察各線段之間的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)線段有重疊和交錯(cuò)時(shí)，往往會(huì)影響我們做出正確判斷。同時(shí)，兩點(diǎn)相距3cm，需要對(duì)相遇前和相遇后分情況討論，情況較為復(fù)雜。但是，如果將圖形放置到數(shù)軸上，每個(gè)點(diǎn)賦予一個(gè)數(shù)，則可以利用A（a）、B（b）兩點(diǎn)間距離為||a-b解決。引入絕對(duì)值可以有效規(guī)避上述分類討論。

二、翻折問(wèn)題與坐標(biāo)系

將兩條數(shù)軸按一定的規(guī)則放置便構(gòu)成了坐標(biāo)系，這是二維空間內(nèi)數(shù)形結(jié)合的利器。下面我們來(lái)看看建立合適的坐標(biāo)系在解決較復(fù)雜幾何問(wèn)題方面的強(qiáng)大功效。

例2 如圖3，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=10cm，BC=12cm。點(diǎn)E、F分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s。當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E隨之停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是△EB′F，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）。是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖3

【思路分析】這是一道蘇州市中考?jí)狠S題的改編題。本題既有動(dòng)點(diǎn)又有翻折，設(shè)問(wèn)的形式為“是否存在”，具有一定的難度。如果將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，賦予各點(diǎn)以坐標(biāo)，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，可以較輕松地解決問(wèn)題。

建立如圖4 所示的坐標(biāo)系：點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC和AB所在直線為x軸、y軸。假設(shè)點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，由題意可得B′（6，5）。連接BB′，交EF于點(diǎn)H，由折疊可得EF垂直平分BB′，且H（3，2.5）。可得直線EF的表達(dá)式為y=-1.2x+6.1，則EF與兩軸的交點(diǎn)為0）。故矛盾，即點(diǎn)B′不可能與點(diǎn)O重合。

圖4

【反思點(diǎn)評(píng)】將幾何圖形放置在坐標(biāo)系內(nèi)，各個(gè)點(diǎn)就有了“身份”（坐標(biāo)），各條直線也有了“身份”（表達(dá)式），數(shù)形結(jié)合思想便得以實(shí)施，我們便可以將復(fù)雜的幾何關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單一的代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題。