溯本“清源”回歸“本源”

文／ 張曉東

專題復習 圖形的變化 圖形與坐標

領銜人：龔 輝

組稿團隊：江蘇省太倉市高新區中學

圖形的變化是初中幾何的重要內容，主要包括圖形的平移、翻折和旋轉等。在學習中，如果我們對各種圖形變化的“本源”理解不到位，對不同圖形變化之間的區別與聯系認識不清楚，會給我們應用圖形變化知識解決問題帶來偏差甚至錯誤。下面就以幾道典型例題和大家一起剖析，期待對同學們的學習有所幫助。

一、概念“本源”理解不清晰

例1 如圖1，已知AC是矩形紙片ABCD的對角線，AB=3，BC=4。現將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖2 中△A′BC′，當四邊形A′ECF是菱形時，平移距離是_____。

圖1

圖2

【易混點】本題是平移背景下求線段長度問題。很多同學能夠根據“四邊形A′ECF是菱形”這一條件求出相關線段長度，但如果對平移距離的概念理解不清晰便會出現錯誤。

二、性質“本源”掌握不牢固

例2 如圖3，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4。將△ABC繞點A旋轉得到△ADE，且點D恰好落在AC上，連接EC，則sin∠DCE的值為（）。

圖3

【易混點】有的同學在觀察圖形后得∠DCE=∠BAC，然后通過計算得sin∠DCE=。錯解的產生，一是缺少嚴密的邏輯推理，僅從直觀感受得到結果；二是對旋轉變化的性質掌握不牢固。

【解析】在Rt△ABC中，得到AC=5。根據旋轉性質可得AE=5，AD=3，DE=4，所以DC=2。最后，在Rt△EDC中，利用勾股定理可求得EC=，從而求出sin∠DCE=。

三、變化過程“本源”分析不透徹

例3 如圖4，有一張矩形紙條ABCD，AB=5cm，BC=2cm，點M、N分別在邊AB、CD上，CN=1cm。現將四邊形BCNM沿MN折疊，使點B、C分別落在點B′、C′上。在點M從點A運動到點B的過程中，若邊MB′與邊CD交于點E，則點E相應運動的路徑長為cm。

圖4

圖5

【易混點】在點M的運動過程中，除了圖5（點M與點A重合）和圖6（MB′⊥AB）兩個特殊情形外，還有一種特殊情形是點B′落在DC上，對圖形變化過程分析不透徹就很容易漏掉。

圖6

圖7

四、題意“本源”運用不到位

例4 如圖8，點A的坐標為（0，2），點B是x軸正半軸上的一點，將線段AB繞點A按逆時針方向旋轉60°得到線段AC。若點C的坐標為（m，3），則m的值為（）。

圖8

圖9

【易混點】對于旋轉90°，很多同學容易想到構造“K”字型解決問題。但此題是旋轉60°，有的同學無從下手，隨意猜測答案。

【解析】本題以平面直角坐標系為背景設置問題，同學們解讀題意時要充分利用旋轉60°的條件，由“線段旋轉60°”聯想“等邊三角形”，而等邊三角形的性質是解題的紐帶。故可以連接BC，過點C分別作CD⊥y軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E，如圖9。易證四邊形CDOE是矩形，所以CD=m，CE=3，AO=2，AD=1。設OB=x，則BE=m-x，分別在Rt△AOB、Rt△ACD、Rt△BCE中，由勾股定理可得AB2=4+x2，AC2=1+m2，BC2=（m-x）2+9。又因為△ABC為等邊三角形，所以AB=AC=BC，所以AB2=AC2=BC2，即4+x2=1+m2=（m-x）2+9，消去x，整理得3m4-22m2-25=0，解得