尋根求源 變式探究

文／彭秋月

教材中的例題是非常典型的數學問題，背后蘊含著豐厚的價值。其實，很多中考題都是由教材中的例題改編而來的，因此我們要足夠重視它們。

原題呈現（蘇科版數學教材九年級上冊第67 頁例3）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E。DE與AC有怎樣的位置關系？為什么？

圖1

詳細解答過程見教材。

變式1如圖2，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D作DE⊥AC，垂足為E，連接BD。若AE=4，ED=2，求⊙O的半徑。

圖2

【解析】求⊙O的半徑可轉化為求線段AB的長度，利用勾股定理和相似三角形對應邊成比例可以輕松解決問題。

【點評】我們可以利用勾股定理或者相似三角形來解決求線段長度的問題。

變式2如圖3，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E。AE與⊙O交于點F，延長ED、AB交于點G，試探究AB、AF、EF三者之間滿足的等量關系，并證明你的結論。

圖3

【解析】構造垂徑定理基本圖形。如圖4，連接OD，過點O作OH⊥AF于點H，易證四邊形ODEH為矩形，所以OD=EH。

圖4

【點評】本題是2017 年鹽城市中考題第25 題的第（3）小題。我們利用垂徑定理也能解決長度的計算問題。