追根溯源探本質 思維提升辨易混

文／張衛明

圓的概念和性質多，圖形之間位置復雜。同時，圓與三角形、四邊形的綜合應用能力考查要求高，如果對圓的概念本質理解不夠透徹，便會在應用時混淆相似的性質；對性質條件內容疏忽，就不能形成正確的數學幾何思維。下面舉例剖析圓中常見的幾個易混淆的概念，希望對同學們掌握圓的內容有所幫助。

一、對圓軸對稱性理解模糊

例1下列命題中，正確的是（ ）。

A.平分弦的直線，必垂直于弦

B.垂直于弦的直線，必經過圓心

C.垂直平分弦的直線必平分弦所對的弧

D.平分弦的直徑必垂直于弦并且平分弦所對的兩條弧

【解析】對于本題，可以在紙上畫出草圖，利用排除法或舉反例進行判斷。平分弦的直線不一定垂直于這條弦，故A錯誤；垂直于弦的直線不一定過圓心，故B 錯誤；當這條弦為直徑時，兩條直徑不一定垂直，故D 錯誤；由垂徑定理可得C正確。故選C。

【點評】本題考查垂徑定理的運用，需要借助圓的軸對稱性才能真正理解垂徑定理。對于一個圓和一條直線來說，如果一條直線具備：①經過圓心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直徑），④平分弦所對的優弧，⑤平分弦所對的劣弧，這五個條件中的任何兩個，那么也就具備其他三個條件。

二、圓中位置關系分類不清

例2已知⊙O的直徑CD=10，AB是⊙O的弦，AB=8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（ ）。

【解析】連接OA。

∵AB⊥CD，

∴AM=BM=4。

在Rt△OAM中，OA=5，

∴OM=

如圖1，CM=8，

圖1

如圖2，CM=2，

圖2

故選C。

【點評】由AB⊥CD，根據垂徑定理易得AM=4，再根據勾股定理計算出OM=3。由于題目沒有給出具體的圖形，對于點C與點M的位置需要分類討論：點C與點M位于圓心異側；點C與點M位于圓心同側。

三、切線判定方法選擇偏頗

例3如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點D為邊AB的中點，點O在邊BC上，以點O為圓心的圓過頂點C，與邊AB交于點D，說明：直線AB是⊙O的切線。

圖3

【解析】如圖4，連接OD、CD。

圖4

∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=，∠A=60°。

∵D為AB的中點，

∴BD=AD=

∴AD=AC。

∴△ADC是等邊三角形。

∴∠ADC=∠ACD=60°。

∵∠ACB=90°，

∴∠DCO=30°。

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠DCO=30°。

∴∠ADO=∠ADC+∠ODC=90°，

即OD⊥AB。

又∵OD過圓心O，

∴直線AB是⊙O的切線。

【點評】切線的證明是中考必考題型。對于圓的切線的證明，主要有以下兩種方法：一是切線的判定定理，二是借助“d=r”。兩種方法要注意區分，當題目提到有公共點時選判定定理，連半徑，證垂直；當條件或圖形中沒有公共點時（或沒有標注字母），則過圓心作直線的垂線段，證“d=r”。

同學們在平時的學習中，要重視概念的學習，理解概念形成和應用的條件，掌握概念之間的轉換條件，這樣才能做好知識點之間的融會貫通，學數學會越學越輕松。