用“巧”法，解決函數(shù)中平行四邊形存在性問題

文／張亞男

四邊形結(jié)合圖形的變化、坐標(biāo)是中考中常見的考題，特別是在壓軸題中，特殊四邊形的應(yīng)用更為廣泛，還常常伴隨多解問題。下面結(jié)合一些中考?jí)狠S題總結(jié)這類題型的解法。

一、巧用對(duì)角線，利用中點(diǎn)坐標(biāo)重合求解

例1（2022·遼寧阜新）如圖1，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像交x軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（5，0），交y軸于點(diǎn)C。

圖1

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式。

（2）已知P是拋物線上一點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)Q，使以A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+4x+5。

（2）由B（5，0）、C（0，5）得直線BC的表達(dá)式為y=-x+5。設(shè)Q（m，-m+5）、P（n，-n2+4n+5）。此時(shí)，要分情況分析：①當(dāng)PQ、AC是對(duì)角線時(shí)，則PQ、AC的中點(diǎn)重合，有解得Q（-7，12）；②當(dāng)QA、PC為對(duì)角線時(shí)，則QA、PC的中點(diǎn)重合，同理可得Q（7，-2）；③當(dāng)QC、PA為對(duì)角線時(shí)，則QC、PA的中點(diǎn)重合，同理可得Q（1，4）或（2，3）。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)和平行四邊形的綜合應(yīng)用。直接畫出大致圖像較難，所以，我們要充分利用平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)，通過對(duì)對(duì)角線進(jìn)行分類討論，借助中點(diǎn)坐標(biāo)公式巧解問題。

二、巧用平移，利用平移方向相同求解

例2（2022·四川資陽）已知二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點(diǎn)B（-1，0）。

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式。

（2）如圖2，將二次函數(shù)圖像繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D。

圖2

①連接AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，求m的值。

②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線x=m上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖像上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】（1）用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3。

（2）①過點(diǎn)A（1，4）作AE⊥x軸于點(diǎn)E（圖略），根據(jù)∠BAD=∠BEA=90°，又因?yàn)椤螦BE=∠DBA，可證明出△BAE∽△BDA，從而得出AB2=BE·BD。將BD=2（m+1），BE=2，AB2=20 代入，可得m=4。

②根據(jù)上問可以得到C（7，-4），點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4。要讓以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，分兩種情況討論。第一種情況，當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCMQ，點(diǎn)C向左平移8 個(gè)單位，與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相同，所以將點(diǎn)M向左平移8 個(gè)單位，得Q（-4，y1），代入y=-x2+2x+3，可得Q（-4，-21）；當(dāng)以BC為邊時(shí)，平行四邊形為BCQM，點(diǎn)B向右平移8 個(gè)單位，與點(diǎn)C的橫坐標(biāo)相同，所以將點(diǎn)M向右平移8 個(gè)單位，得Q（12，y2），代入y=-x2+2x+3，得Q（12，-117）。第二種情況，當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得Q（2，y3），代入y=-x2+2x+3，得Q（2，3）。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)第（2）題的第②問，利用已知線段的平移方向和平移距離，計(jì)算得出另一組點(diǎn)的平移，得到點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而代入求解。此方法從另一種角度解決了平行四邊形存在性問題。

三、巧用特殊，解決菱形存在性問題

例3（2022·遼寧朝陽）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），連接BC。

圖3

（1）求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（2）動(dòng)點(diǎn)P以每秒2 個(gè)單位長度的速度在線段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1 個(gè)單位長度的速度在線段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、M、B、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】（1）拋物線的表達(dá)式為y=x2+2x-3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0）。

（2）要使以點(diǎn)P、M、B、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分為PM=BM、PM=PB和BP=BM三種情況。結(jié)合圖像，進(jìn)一步得出點(diǎn)N坐標(biāo)為或（-2，1）或（0，3-3

【點(diǎn)評(píng)】本題雖然考查的是菱形的存在性問題，但是通過分類討論，結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成等腰三角形存在性問題。