挖掘問題本質 巧用模型求解

文／康 敏

解決平行四邊形綜合類問題，我們要學會結合圖形抓住已知條件中的關鍵信息，尋求已知條件的內涵，結合所求的結論，從前向后分析，再從后向前逆推，挖掘問題的本質，找準解決問題的關鍵點，最終探究到適當的數學模型來解決問題。

例1（2022·江蘇泰州）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE為邊作正方形DEFG。設DE=d1，點F、點G與點C的距離分別為d2、d3，則d1+d2+d3的最小值為（ ）。

圖1

【分析】如圖2，連接CF、CG，求d1+d2+d3的最小值，就是求DE+FC+GC的最小值。但是DE與另兩邊沒有公共點，這就需要把“折線段”的和轉化為“直線段”的和，所以要轉化線段DE。由四邊形DEFG是正方形，可得DE=EF。結合圖形，還需要把CG也轉換，這里就是難點和關鍵點。由四邊形ABCD是正方形，得到∠ADC=∠EDG=90°，AD=CD，能推出∠ADE=∠CDG，這樣就聯想構造三角形全等。連接AE，利用“SAS”證明出△ADE≌△CDG，得出AE=CG，把DE+FC+GC轉化為EF+FC+AE。所以，當A、E、F、C四點共線時，即得最小值。

圖2

解：如圖2，連接CF、CG和AE。

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DEFG是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=∠EDG=90°，DE=EF=DG。

∴∠ADE=∠CDG。

∴AE=CG。∴DE+CF+CG=EF+CF+AE。

當A、E、F、C四點共線時，能取到最小值，即AC的長。

故選C。

【點評】本題主要考查正方形的性質、全等三角形的證明、勾股定理的運用、轉換思想等。正確構造全等三角形求出邊相等是解決本題的難點，此題的全等證明是“手拉手模型”。求順次相連的多條線段和最小，關鍵是把“折線段”的和轉化為“直線段”的和，簡稱“化折為直”。當這幾點共線時，線段和最小，本質上運用了兩點之間線段最短，體現了由一般到特殊的數學思想。

例2（2022·江蘇連云港）如圖3，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC。

圖3

（1）求證：四邊形DBCE為菱形；

（2）若△DBC是邊長為2 的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值。

【分析】（1）如圖3，先根據平行四邊形的性質，得AD=BC和AD∥BC。已知DE=AD，得到BC和DE的數量關系和位置關系，從而證明四邊形DBCE為平行四邊形，再根據BE⊥DC，即可證得四邊形DBCE為菱形。

（2）如圖4，點P、M、N都是動點，所以PM+PN是變化的，是“折線段”的和。因此，求其最小值時，要先變“折線段”為“直線段”，即利用轉換思想，找不變量。作點N關于BE的對稱點N＇，點N＇在DE上，根據菱形對稱性得到PM+PN=PM+PN＇，PM+PN的最小值即為菱形的高。構造直角三角形，利用三角函數即可求得高的值。

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC。

∵DE=AD，∴DE=BC。

∵點E在AD的延長線上，∴DE∥BC。

∴四邊形DBCE為平行四邊形。

又∵BE⊥DC，∴四邊形DBCE為菱形。

（2）解：如圖4，由菱形對稱性得點N關于BE的對稱點N＇在DE上，

∴PM+PN=PM+PN＇。

當P、M、N＇共線時，PM+PN=PM+PN＇=MN＇。

過點D作DH⊥BC，垂足為H。

∵DE∥BC，∴MN＇的最小值即為平行線間的距離DH的長。

∵△DBC是邊長為2的等邊三角形，

∴在Rt△DBH中，∠DBC=60°，DB=2。

【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質、菱形的判定和性質、軸對稱的性質、求動點類的線段和的最值問題，運用了轉化的思想方法。解決本題的關鍵是“化折為直”。