按點(diǎn)分析，得心應(yīng)手

文／晏南飛

平行四邊形和特殊的平行四邊形的解答題在中考中是較為常見的，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，解題難度較大。那么，如何解答才能不失分？這就需要我們學(xué)會(huì)分解題目，踩點(diǎn)分析，規(guī)范書寫。下面就以2022 年內(nèi)蒙古呼和浩特市的一道中考題為例說明。

下面是八年級(jí)教科書中的一道題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F。求證：AE=EF。（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG）

圖1

（1）請(qǐng)你思考題中“提示”，這樣添加輔助線的意圖是得到條件：___________。

（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B、C重合），其他條件不變。求證：AE=EF。

圖2

（3）在（2）的條件下，連接AC，過點(diǎn)E作EP⊥AC，垂足為P。設(shè)=K，當(dāng)K為何值時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明。

解：（1）AG=CE。（2分）

（2）取AG=EC，連接EG，如圖3。（3分）

圖3

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠B=90°。

∵AG=EC，∴BG=BE。

∴△BGE是等腰直角三角形。

∴∠BGE=∠BEG=45°。

（3）當(dāng)K=時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形。（7分）

取AG=EC，連接EG，如圖4。

圖4

由（2）得△CEF≌△GAE，∴CF=EG。設(shè)BC=x，則BE=Kx，

∴GE=Kx，EC=（1-K）x。（8分）

∵EP⊥AC，

∴△PEC是等腰直角三角形。

∴∠PEC=45°。

∴∠PEC+∠ECF=180°，PE=（1-K）x。

∴PE∥CF。（9分）

【得分分析】（1）“提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG”是本題解決問題的關(guān)鍵。要證AE=EF，通常要證這兩條邊所在的三角形全等。而在現(xiàn)有圖形中沒有這樣的全等三角形，就需要構(gòu)造三角形。條件中給出點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，可以得到。觀察圖形，再根據(jù)正方形性質(zhì)，可以知道AB=BC，就明白為什么要“取AB的中點(diǎn)G，連接EG”。其直接目的是證明AG=CE，下一目標(biāo)是證全等。

（2）此問弱化了條件，把特殊點(diǎn)“中點(diǎn)”換成一般點(diǎn)“邊上任意的一點(diǎn)”，解題基本思路與第（1）問一樣，正確作出輔助線就可以拿1分。為證明全等，找到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角相等，就可以各得1 分，最終寫出結(jié)論得1 分。我們?cè)谧C明全等的時(shí)候要注意格式的規(guī)范，要將全等條件按照全等三角形的判定定理（此解法用的是“ASA”）的順序書寫，在寫△GAE≌△CEF時(shí)要按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的順序書寫。

（3）我們要注意此問的提問方式。“當(dāng)K為何值時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形，并給予證明。”因此，我們?cè)诮獯痖_始就要先說明“當(dāng)K=時(shí)，四邊形ECFP是平行四邊形。”此說明可得1 分。設(shè)參數(shù)來表示邊長時(shí)，我們要注意表達(dá)清楚和完整，否則容易造成條件不明確而丟分。另外，就是考驗(yàn)我們最基礎(chǔ)的運(yùn)算能力了。我們?cè)诮獯鸬淖詈箅A段依舊不能放松要求，只有仔細(xì)計(jì)算，才能確保獲得全部分?jǐn)?shù)。