費(fèi)馬點(diǎn)如何尋找

文／呂 昊

費(fèi)馬（Femat，1601—1665），法國(guó)數(shù)學(xué)家，在數(shù)論、解析幾何、微積分、概率論等領(lǐng)域有重要開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。

托里拆利（Torricelli，1608—1647），意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，以發(fā)明氣壓計(jì)而聞名。

費(fèi)馬曾在一封寫(xiě)給托里拆利的信中提出一個(gè)有關(guān)三角形的有趣問(wèn)題：對(duì)于任意一個(gè)三角形，是否存在一個(gè)點(diǎn)，使它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小？托里拆利給出了肯定的答案。后來(lái)，人們把到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)。

那么，這個(gè)費(fèi)馬點(diǎn)是如何尋找的呢？如圖1，當(dāng)△ABC 每個(gè)角都小于120°時(shí)，分別以AB、BC、AC 向外作等邊△ABD、等邊△BCF、等邊△ACE，連接AF、BE、CD，交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P是△ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC 有一個(gè)內(nèi)角大于120°時(shí)，則這個(gè)內(nèi)角所在的頂點(diǎn)就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。這是為什么呢？你能嘗試說(shuō)明理由嗎？

圖1