轉(zhuǎn)化：構(gòu)造全等求解問(wèn)題

文／江蘇省蘇州市相城區(qū)漕湖學(xué)校 鄒 揚(yáng)

在學(xué)習(xí)有關(guān)中心對(duì)稱圖形的知識(shí)過(guò)程中，我知道了利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，可以將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。比如，在一個(gè)正方形中探究?jī)蓷l線段的數(shù)量或位置關(guān)系時(shí)，我們可以使用轉(zhuǎn)化法構(gòu)造全等模型，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本圖形問(wèn)題來(lái)解決。我們一起來(lái)看下面的例題。

例題如圖1，在正方形ABCD中，F(xiàn)為邊BC上的定點(diǎn)，E、G分別是AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，AF和EG交于點(diǎn)H。有2 個(gè)選項(xiàng)：①AF⊥EG，②AF=EG。請(qǐng)從2 個(gè)選項(xiàng)中任意選擇一個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，得到一個(gè)真命題，并證明。

圖1

我選擇①作為條件，②作為結(jié)論。

證明：作DP∥GE，如圖2。

圖2

∵AF⊥EG，∴AF⊥DP。

∴∠ADP+∠DAF=90°。

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAP=∠ABF=90°。

∴∠BAF+∠DAF=90°。

∴∠BAF=∠ADP。

∵AD=AB，∴△ABF≌△DAP（ASA）。

∴AF=DP。

∵AB∥CD，DP∥GE，

∴四邊形PEGD是平行四邊形。

∴PD=EG。∴AF=EG。

本題我們還可以選擇②作為條件，①作為結(jié)論。根據(jù)已知條件AF=GE，我們無(wú)法直接證明，此時(shí)需要構(gòu)造△DAP與△ABF全等，借助角的數(shù)量關(guān)系來(lái)說(shuō)明線段的位置關(guān)系，從而證明DP⊥AF，進(jìn)一步證明AF⊥EG。

在解決這類題目時(shí)，我們可以通過(guò)構(gòu)造最基本的全等模型，將原本無(wú)法直接求解出來(lái)的圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的基本圖形問(wèn)題求解。

教 師 點(diǎn) 評(píng)

在本章的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們時(shí)常會(huì)遇到一些新圖形問(wèn)題。將新圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本圖形問(wèn)題是一種重要的解題策略。小作者能夠把握正方形背景下的三角形全等模型，通過(guò)添加輔助線，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化證明，值得大家學(xué)習(xí)。