巧用“中心”分空地

文／徐小冬

我們知道三角形的穩(wěn)定性在生活中被廣泛運(yùn)用，如自行車車架、籃球架、三腳架、斜拉橋等，而平行四邊形的不穩(wěn)定性也大有用處，如電動(dòng)伸縮門、折疊傘棚、伸縮晾衣架等。平行四邊形有三角形所不具備的中心對(duì)稱性，那么平行四邊形的中心對(duì)稱性在生活中又有什么樣的妙用呢？下面，我們通過實(shí)例一起感受一下。

例題如圖1 所示，甲、乙、丙為小區(qū)的三塊空地，為美化小區(qū)環(huán)境，小區(qū)物業(yè)決定分別將三塊空地進(jìn)行綠化。要求用一條直線將每塊空地分成面積相等的兩塊地，一塊用來種花，一塊用來種植綠色植被，特邀本小區(qū)居民提供設(shè)計(jì)方案。

圖1

圖2

愛動(dòng)腦的小明結(jié)合近期所學(xué)中心對(duì)稱圖形的相關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)了如下方案。

甲地設(shè)計(jì)方案：

方法一：利用特殊點(diǎn)或特殊位置（如圖3）。特殊點(diǎn)（矩形的頂點(diǎn)）：直線AC或BD；特殊位置（矩形各邊中點(diǎn)）：直線EF或GH。

圖3

方法二：利用矩形的中心對(duì)稱性（如圖4）。過矩形對(duì)稱中心的任意一條直線平分矩形面積。

圖4

我們不難推斷，對(duì)于任意的中心對(duì)稱圖形，經(jīng)過對(duì)稱中心的任意一條直線平分圖形的面積。因此，今后我們平分圖形面積時(shí)，應(yīng)先考慮它是否是中心對(duì)稱圖形，如果是，只要找到它的“中心”即可。但在生活實(shí)際中，我們遇到的也不都是中心對(duì)稱圖形，對(duì)于非中心對(duì)稱圖形的面積平分問題，又該如何解決呢？

乙地設(shè)計(jì)方案：

對(duì)于非中心對(duì)稱圖形，解決問題的關(guān)鍵在于能否將非中心對(duì)稱圖形轉(zhuǎn)化成中心對(duì)稱圖形。

方法一：如圖5、圖6，利用“割”的方法將非中心對(duì)稱圖形（多邊形ABCEFG）分割成兩個(gè)中心對(duì)稱圖形（矩形AHFG和矩形HBCE或矩形ABIG和矩形FICE），找出兩個(gè)中心對(duì)稱圖形的“中心”O(jiān)1、O2，則直線O1O2將原非中心對(duì)稱圖形（多邊形ABCEFG）的面積平分。

圖5

圖6

方法二：如圖7，利用“補(bǔ)”的方法將非中心對(duì)稱圖形（多邊形ABCEFG）補(bǔ)成兩個(gè)中心對(duì)稱圖形（矩形ABCJ和矩形EFGJ）,找出兩個(gè)中心對(duì)稱圖形的“中心”O(jiān)1、O2，則直線O1O2將原非中心對(duì)稱圖形（多邊形ABCEFG）的面積平分。

圖7

其實(shí)，通過“割”或者“補(bǔ)”尋找“中心”的方法具有局限性，即“割”或者“補(bǔ)”所得到的兩個(gè)圖形也必須都是中心對(duì)稱圖形。如果其中一個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形，那又該如何解決呢？

丙地設(shè)計(jì)方案：

如圖8、圖9，若通過簡單的“割”“補(bǔ)”，則無法平分△CFG的面積。我們可以利用本題EF∥BC這個(gè)條件，通過“等積”轉(zhuǎn)化，將非中心對(duì)稱圖形轉(zhuǎn)化為中心對(duì)稱圖形。

圖8

圖9

如 圖10，過CF中 點(diǎn)H作BE的 平 行線，交EF的延長線于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接EN、BM，交點(diǎn)為O。∵EF∥BC，H為CF中 點(diǎn)，∴△CHN≌△FHM，即S△CHN=S△FHM，∴S四邊形BNME=S四邊形BCFE。則 過O點(diǎn)的任意直線（直線必須與邊EF相交）將四邊形BCFE的面積平分。

圖10

數(shù)學(xué)源于生活又應(yīng)用于生活，像小明這樣巧用“中心”設(shè)計(jì)平分空地方案的生活實(shí)例還有很多。我們只有學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才會(huì)更有價(jià)值和意義。