矩相關保費原理下具有時間變化效應的信度模型

李新鵬，高榕，陳一峰，萬萌萌，何愛進，吳黎軍

(1.新疆農業大學 數理學院，新疆 烏魯木齊 830052；2.新疆大學 數學與系統科學學院，新疆 烏魯木齊 830046)

信度理論是保險精算中重要的保費厘定方法,它依據風險的先驗信息和賠付信息對保費進行估計,得到的信度保費為樣本均值和信度補項的加權平均。Bühlmann等[1]研究的任意分布下的凈保費信度估計是現代信度理論起源。

若保險人只收取凈保費,則依據破產理論,必將導致保險人破產,所以在實際中不能直接使用凈保費原理。因此,在不同保費原理下對信度保費的研究成為其熱門領域,Bühlmann[2]研究了基于方差保費原理的近似信度估計;Pan等[3]給出了Esscher保費原理下的信度估計,并證明了估計滿足相合性;溫利民等[4]研究了基于指數保費原理的信度保費;章溢等[5]在2019年采用風險隨機變量的矩母函數給出了矩相關保費原理,它包含了非壽險精算學中大部分保費原理,研究了矩相關保費原理下信度保費問題;李新鵬等[6]在2021年研究了基于矩相關保費原理的具有風險相依結構的信度保費問題,給出了信度保費以及結構參數的無偏估計。

在實際問題中,不同風險之間具有相關性,如一次交通事故可以導致多個賠付,地域相近的房屋面臨共同的火災風險等。李新鵬等[7-8]在LINEX損失函數下分別對具有時間變化效應的單合同和多合同信度模型問題進行了研究,推導出了相應的信度保費;Bolancé等[9]提出了索賠頻率風險模型,推導出了時間效應為自相關時間序列時的信度保費;鄭丹等[10]研究了具有時間變化效應的信度保費問題;Wen等[11]研究了共同隨機效應下的信度模型,得到了信度保費;李新鵬等[12]在2020年給出了MLINEX損失函數下具有風險相依效應的信度保費。

本文在矩相關保費原理下,考慮風險間的時間變化效應,研究一份保單在過去不同年賠付額之間具有時間變化效應的信度模型,以期得到相應的信度保費,最后,運用數值模擬的方法驗證基于矩相關保費原理,并證明幾種常見保費原理下風險保費的信度估計滿足相合性。

1 模型假設與預備知識

信度理論基于平方損失函數,將估計限定在過去賠付額的線性組合中,得到信度保費公式

給定隨機變量X,稱M(t)=E(etX)為隨機變量X的矩母函數。由此可得

E(X)=M'(0),

D(X)=M''(0)-[M'(0)]2,

E(eαX)=M(α),

E(XeαX)=M'(α),

并且定義一種統一的保費原理——矩相關保費原理。

定義1給定風險隨機變量X及數α>0,矩相關保費原理為

H(X)=f(M'(0),M''(0),M(α),M'(α)),

式中f為多元連續函數[5]。

假設一份保單過去n年賠付額隨機變量X1,X2,…,Xn有各自的風險參數Θ1,Θ2,…,Θn,且這些風險參數具有時間變化效應。模型的假設如下:

假設1給定風險參數Θ1,Θ2,…,Θn,賠付額X1,X2,…,Xn之間獨立, 條件矩母函數為

M(t,θi)=E(etXi|θi),i=1,…,n+1。

由此可得:

假設2風險參數Θi的分布函數為π(θi),且

E[M(t,θi)]=M0(t),

Cov[M(t,θi),M(t,θj)]=

εi(t)εj(t),i,j=1,…,n+1。

記X=(X1,…,Xn)',Θ=(Θ1,…,Θn)'。易知:

E(Xi|θ)=M'(0,θ),

D(Xi|θ)=M''(0,θ)-[M'(0,θ)]2,

E(eαXi|θ)=M(α,θ),

E(XieαXi|θ)=M'(α,θ)。

基于矩相關保費原理,該保單下一年的風險保費為

u(θ)=f(M'(0,θ),M''(0,θ),M(α,θ),M'(α,θ)) ,

(1)

為此,令

Yi(t)=etXi,Y(t)=(Y1(t),…,Yn(t))'。

令Yi(t)的線性組合為M(t,θ)的估計,通過求解下述最優化問題:

(2)

式中ω(t)≥0為已知權重函數,得到其估計,再依據“代入”準則得到u(θ)的信度估計。

為了求解問題(2),給出引理1。

引理1設Yn+1(t),Y1(t),…,Yn(t)為隨機序列,Y(t)=(Y1(t),…,Yn(t))',B=(b1,…,bn),則當

引理2給出了具有時間變化效應的信度模型的性質。

引理2在假設1和假設2下,可得以下結論:

(i)Yi(t)的期望為

E[Yi(t)]=M0(t),i=1,…,n+1。

(ii)Yn+1(t)與Y(t)的協方差為

Cov[Yn+1(t),Y(t)]=

εn+1(t)(ε1(t),…,εi(t),…,εn(t))。

(iii)Y(t)的方差協方差矩陣為

i=1,…,n)+(ε1(t),…,εi(t),…,

εn(t))'(ε1(t),…,εi(t),…,εn(t)),

式中diag[…]為對角矩陣。

(iv)Y(t)的方差協方差矩陣的逆矩陣為

2 矩相關保費原理下信度保費估計

下述定理1給出了問題 (2) 的解,即條件矩母函數M(t,θ)的最優估計。

定理1在假設1、假設2下,通過求解最優化問題(2),得到M(t,θ)的最優估計為

式中:

證明由引理1得,M(t,θ)的最優估計為

(3)

根據引理2和定理1中已知條件可得

因此,

令

E(Xi|θ)=μ1(θ),

E(XieαXi|θ)=γ(α,θ),

E[μ1(θ)]=μ1,

E[μ2(θ)]=μ2,

E[γ(α,θ)]=γ(α),

并且引入記號

則風險保費為

u(θ)=f(μ1(θ),μ2(θ),M(α,θ),γ(α,θ))。

因此,通過“代入”原則,易得定理2。

定理2在矩相關保費原理下,基于風險之間的時間變化效應,得到矩母函數的信度估計,進而得到風險保費u(θ)的信度估計為

式中:

由于函數f具有不同形式,所以根據定理2給出期望值保費原理、方差保費原理、Esscher保費原理、指數保費原理下具有時間變化效應的信度保費估計。

推論1(i)期望值保費原理中信度保費估計為

(ii)方差保費原理中信度保費估計為

(iii)Esscher保費原理中信度保費估計為

(iv)指數保費原理中信度保費估計為

推論2在矩相關保費原理下,基于風險之間的時間變化效應,Bühlmann模型的信度保費估計為

式中:

3 數值模擬

下面運用數值模擬方法驗證基于矩相關保費原理,證明在幾種常見保費原理下本文得到的信度保費估計滿足相合性。

首先,給出期望值保費原理、方差保費原理、Esscher保費原理、指數保費原理下風險保費分別為:

u1(θ)=(1+α)μ1(θ),

u2(θ)=μ1(θ)+α(μ2(θ)-μ1(θ)2),

假設Θi～U(0,0.5),在風險參數θi給定下,賠付額Xi,i=1,…,n+1服從Bernoulli分布,即P(Xi=1|θ)=θ,P(Xi=0|θ)=1-θ,則:

M(α,θ)=E(eαXi|θ)=θ(eα-1)+1,

σ2(α,θ)=D(eαXi|θ)=(eα-1)2(θ-θ2),

μ1(θ)=μ2(θ)=θ,

γ(α,θ)=E(XieαXi|θ)=θeα,

取

εi(α)=εj(α)=ε(α),

則

根據定理2及連續性定理可得

表1 不同樣本容量下風險保費的信度估計均值及均方誤差

從表1可看出,4種保費原理下得到的風險保費信度估計的均方誤差隨著樣本容量的增大而逐漸減小,說明本文得到的信度估計滿足相合性。

4 結束語

本文在矩相關保費原理下,研究了具有時間變化效應的信度保費,得到了信度估計,并且給出了基于矩相關保費原理和幾種常見保費原理下具有時間變化效應的信度保費估計和具有時間變化效應的Bühlmann模型的信度保費估計。本文得到的信度估計形式簡單,數值模擬驗證了本文得到的信度估計滿足相合性。