核心素養視域下的初中數學推理能力培養

陳禮軍

(福建技術師范學院附屬中學,福建 福州 350301)

在科教興邦的教育大環境下,檢驗一個人才的標準不只是高分,更重要的是能力和素養.數學核心素養的提出更是引發了人們的熱議,時至今日仍舊是一個十分值得關注的話題.2022年版的《義務教育數學課程標準》中,進一步明確要求教師要注重培養學生形成推理能力,還在“數與代數”部分凸顯了推理能力的培養.提倡教師結合學生的推理能力發展現狀,建立有效的教學策略,培養學生的邏輯思維及數學推理能力,形成數學推理素養,這既是落實核心素養育人目標的需要,也是促進學生終身發展的需求.

1 推理能力概述

在《辭海》中對“推理”一詞進行了解釋,其指出推理是推理思考方式之一,由已知推斷結論,或由結果反向地推導出已知的理由,是人們在解釋因果關系、說明現象過程中經歷了演繹、歸納、類比等思考活動[1].從解釋中可以看到推理能力是依靠學者敏銳的分析思考,而后快速判斷并明白問題的核心,達到在比較短的時間內做出合理選擇的思維能力表現.推理能力的表現有以下幾種形式:第一,演繹推理.數學的演繹推理是數學界公認的一種絕對準確的判斷過程,它從一般到特殊的推理方式,如,A是B,C是A,所以B是C.在演繹推理的過程中學生一般會經歷分析、綜合、抽象、概括等過程,這是科學論證的一個基本組成形式,同時也是數學嚴謹性特征的體現.第二,類比推理[2].崔清田認為類比推理就是依據兩個或兩個以上的對象,其某些屬性上存在相同點,推理出它們在其他屬性上也相同.可見,類比推理的過程就是從兩個或兩類及其以上的對象研究中,發現它們存在著相同點或相似性,進而根據已知特征提出另一個或另一類對象也具備這個特征的推理過程.第三,歸納能力.波利亞曾指出,歸納是通過觀察和組合特殊的例子來發現普遍現象的過程,是從特殊到一般的升華,需要從經驗和概念出發,按照某種法則進行了前提與結論之間的關系推理.

2 核心素養視域下的初中數學推理能力培養策略

2.1 大膽推理小心驗證,培養演繹推理能力

數學新課標要求教師要讓學生具備分析與解決問題的能力,教師就要著重培養學生提出問題與發現問題的能力,鼓勵學生嘗試解決和分析問題與已有知識的聯系.就是說發現與提出問題比成功解決一個問題更為重要.教師在數學教學過程中,應引領學生經歷提出問題、發現問題、分析問題以及解決問題的全過程,促使學生經歷知識發現的過程,參與到完整論證的探索活動之中,學會猜想,敢于創造,在猜想與驗證中獲得演繹推理能力的鍛煉[3].

以《平行四邊形的性質》一課教學為例,在教學初始環節教師先讓學生回顧了平行四邊形的定義,緊接著提出問題:根據平行四邊形的定義,我們可以知道平行四邊形有著兩組對邊平行的特點,那么除此之外其還會有其他的性質嗎?問題的提出,可以推動學生大膽猜想,一些學生開始猜想:兩組對角分別相等.這就是一種大膽的猜想,是建立在“兩組對邊平行”性質基礎上對了另一種性質的合理推斷,為了驗證這一猜想是否正確,教師可以與學生們共同用工具(如量角器)實踐測量,在多次測量中驗證猜想,最終得出結論:平行四邊形的對角相等.在得出結論后,教師應繼續要求學生通過畫圖的方式,進一步證明結論的正確性,如畫出圖1,ABCD,已知這個四邊形是平行四邊形,那么根據“對邊平行”的定義,即可得出AB∥CD,AD∥BC,由AB∥CD,可以證出∠A+∠D=180°,相同原理的可以證出∠C+∠D=180°,根據“同角的補角相等”,得出∠A=∠C,同理得到∠B=∠D,證得平行四邊形的對角相等.在這個過程中,學生們大膽地提出了猜想,在經過小心的論證之后,探索出了平行四邊形的又一個性質,接著思考還有別的方法推導對角相等嗎?可以帶領學生在驗證與證明中,獲得演繹推理能力的發展.

圖1 平行四邊形ABCD

2.2 聯系已知找到共性,培養類比推理能力

類比推理是數學推理能力的重要組成,通過對現階段的初中生推理能力發展情況分析,發現許多學生對知識的橫向對比都偏弱,推理能力的類比可見一般,也就是說學生在數學學習中難以從一類事物的研究中所獲得的經驗總結,去推導出其他相似的事物也應該存在的相近特性.究根到底學生在研究推理中經常忘記已知條件和已掌握的數學經驗的條件之間的相似之處.在建構主義理論中指出,人不斷將剛接觸的新知識整合到自己舊知識體系中,才會逐步完整的知識體系,弄清楚新舊知的共性,如此學生的新知學習就會建立在類比舊知識基礎上,學生的類比推理就可以自然而然地建立起來了[4].

如在《角的比較與運算》的這部分內容教學中,需要學生掌握的知識點主要有角的大小比較、角的和差以及角的平分線,這三個關于角的新知識點學習與線段的大小比較、線段的和差以及線段的中點是一一對應的.實際上,從圖形上看,線段與角之間存在著一定的幾何相似之處,例如線段和角都可以度量,線段和角都可以疊合,還都是軸對稱圖形,因此通過線段與角的性質和共同點研究,推斷出二者的研究方法或一致不無道理,那么此時引領學生從研究線段的方法入手,進行角的比較與運算新知的研究也就順理成章了.在這個過程中,教師可以通過提問的方式,引發學生的類比推理,如:(1)在線段的學習中,我們都研究了線段的哪幾個方面內容?(2)線段與角都是初中最基本的軸對稱圖形,你能否從線段的研究中得到啟示,思考我們應該從哪幾個方面去考慮角的有關問題的研究?(3)能不能從線段大小的比較方法類比角的大小的比較?(4)線段的中點與角的平分線研究有什么相似之處?

利用已知的線段研究方法推理出角的新知,可以保障學生在數學新知推理中做到思維有序、條理清晰,引領學生從中找到線段與角在研究方法上的共性,進而類比得出的三等分線的定義.

2.3 細化概念融會貫通,培養歸納推理能力

數學概念的理解是初中生學好數學的根本,所以一線教學的教師應始終都要非常重視數學概念的剖析,弄清數學概念對于學生其他部分的數學知識學習以及知識運用能力發展是至關重要的.正確地處理好概念教學的講解,離不開設計能夠引發學生推理的數學情境,巧妙地引入概念,不僅能夠降低學生對抽象數學概念本身的理解難度,還有助于學生探索與分析數學概念知識的延伸,從中總結的知識,將形成重要的歸納推理能力和數學抽象能力.

以《有理數的乘方》的概念教學為例,教師可以創設情境引出本節課學習的主題,將“3×3”“3×3×3”分別寫成“32”“33”,提出問題:那么,3×3×3×3×3要怎樣表示更為簡潔呢?學生們從給出的案例中寫出:35,教師追問:這里面的3和5分別代表什么?接著我們還可以提出a·a·a·a·a要如何表示呢?如果是m個a相乘,又該如何表示呢?在整個教學過程中,教師從學生熟悉的圖形面積與體積計算問題出發,引領學生在列出式子、觀察式子尋找規律中,讓學生初步地掌握相同因數連續相乘的簡單表示方法.認識到“3”是因數,“5”表示的是相同因數的個數,進而推理出將“3”“5”分別換成“a”“m”,即得出am.為了對底數,指數更加清楚地認識,比如對于-14與(-1)4又有什么區別,看似很簡單,可是學生在練習中極容易出現計算錯誤的問題.因此在教學中,老師應進一步細化概念,思考算式-(1×1×1×1)與(-1)×(-1)×(-1)×(-1)用乘方如何表示,它們計算結果一樣嗎?這樣思考對底數,指數將會有清晰的思維,再給出計算-23與(-2)3,-12021與(-1)2021,-12022與(-1)2022,-12n與(-1)2n,-12n+1與(-1)2n+1些題目給學生思考,所得到結果又怎樣?促使學生在數學概念的學習中,經過從特殊到一般的歸納過程,學生的歸納推理能力無形之中得到了鍛煉.

2.4 開展變式練習活動,提升推理應用能力

數學推理應用能力的培養,其關鍵在于學以致用,促使學生運用嚴謹、靈活的思維解決問題,促使學生從某一個問題分析推理以及解決中,掌握同一類問題的解決方法,當學生再次遇到此類數學問題的時候,就可以迎刃而解了.數學問題的設計有著“換湯不換藥”的特點,一些看似復雜的情境,看似困難的問題,實際上都是從簡單的情境、簡單的問題中升級變化而來的,只要學生掌握了其中的核心知識點,就能夠從復雜的問題中推理出本質,進而靈活地運用所學的數學公式定理,輕松地解答問題,促使學生在變式訓練中獲得數學應用能力的提升,升華推理能力培養的教學價值[5].

如圖2,平行四邊形ABCD所示,在平行四邊形ABCD中,AD=AB,∠BAD=60°,邊CB、DC上分別有點E、F,且∠EAF=60°,(1)求證:∠BAE=∠CEF;(2)若邊CB、DC的延長線上分別有點E、F,其他條件不變,如圖3,四邊形ADFE,讓學生猜想∠BAE與∠CEF的數量關系如何?證明你的猜想. 在這道題目中第一個問題讓學生求證∠BAE和∠CEF兩個角是相等的,第二個問題是在其他條件不變的情況下,點E、F在ABCD的邊的外延長線上,進而說明∠BAE與∠CEF的關系,學生在第一問的解答時可以獲得提示,很容易猜到∠BAE與∠CEF相等,促使學生在推理與驗證中強化了問題解答能力,能夠由此及彼地解答問題,尋找解決問題的方法,這樣學生的數學推理能力以及應用能力都得到了一定程度上的進步.

圖2 平行四邊形ABCD 圖3 平行四邊形ADFE

總之,推理能力是初中生數學核心素養形成中的主要組成部分,教師應在數學教學中注重推理能力的培養,為學生提供更多參與推理驗證的機會,能夠結合初中生的思維發展規律以及數學學習情況,總結出一套行之有效的教學方案,為學生的數學推理能力培養提供助力,以促進數學核心素養的生成.