一類時間-空間分數階Klein-Gordon方程的孤立波解

陸求賜, 王學彬, 張宋傳, 徐瑞標

( 1.武夷學院 人文與教師教育學院, 福建 武夷山 354300;2.武夷學院 數學與計算機學院, 福建 武夷山 354300 )

0 引言

由于分數階Klein-Gordon偏微分方程在流體力學、電學、信號處理、系統辨識以及經濟學等領域有著廣泛的應用[1-2],因此尋求分數階Klein-Gordon方程的解具有重要意義.本文考慮如下一類時間-空間分數階Klein-Gordon方程的孤立波解:

(1)

其中x∈Rn,n∈Z+,t>0, 0<α≤1,d,e∈R為參數.

式(1)是一類重要的分數階偏微分方程(薛定諤方程的一種相對論形式),最初是由瑞典理論物理學家O.Klein和德國物理學家W.Gordon分別獨立推導得出的[3].在式(1)中當α=1時,式(1)為整數階Klein-Gordon方程[4].目前,已經有很多學者借助不同的求解方法對方程(1)或與其相關的整數階及時間分數階Klein-Gordon方程進行了研究,并得到了豐富的精確行波解.這些研究采用的主要方法有橢圓方程輔助方法[4-5]、修正簡單方程法[6]、首次積分法[7]、G′/G展開法[8]、同倫攝動方法[9]、Jacobi譜配置方法[10]、平面動力系統分支理論方法[11]等.但目前大部分學者研究的多為時間分數階Klein-Gordon方程[7-11],而對于時間-空間分數階Klein-Gordon方程研究得較少:郭琳等利用修正的黎曼-劉維爾導數及其性質以及一般橢圓方程(作為輔助方程)給出了方程(1)的部分精確解[5];M.Kaplan等利用一種修正的簡單方程法求得了方程(1)的諸多行波解[6].本文針對文獻[5]缺少圖形支撐和文獻[6]存在解法較為繁瑣的問題,利用保形分數階導數的性質和1/G展開法[12-13]對方程(1)進行求解,得到了較為豐富的孤立波解和扭曲波解.

1 1/G展開法求解分數階方程的應用

1.1 預備知識

求……