(1+1)維Maxwell-Chern-Simons-Higgs系統解的整體存在性

周羽, 金艷

( 延邊大學 理學院, 吉林 延吉 133002 )

0 引言

1990年,Lee等[1]提出了如下Maxwell-Chern-Simons-Higgs(MCSH)自對偶模型:

(1)

1 降維系統

設(1+2)維MCSH系統(式(1))與變量x2無關.于是將式(1)中的符號A2替換為B可得如下(1+1)維MCSH系統:

(2)

在以下研究中,本文用重復指標表示求和記號,用C表示各種常量(研究系統解的局部性質時可假設T≤1,由此此時可用C代替光滑函數C(T)),用AB表示估計A≤CB,用Hs≡Hs(R)表示Sobolev空間Ws,2(R),并記L2(R)≡H0.定義通常意義下的規范場強和協變導數分別為:

(3)

定義通常意義下的規范變換為:

φ→φ′=e-ieχφ,Aμ→A′μ=Aμ+?μχ,Dμ→D′μ= ?μ-ieA′μ,

(4)

其中χ:R1+2→R是光滑函數.根據酉群定義知e-ieχ∈U(1)={e-iα|α∈R}.將式(4)代入式(2)計算可知,拉格朗日密度(2)在規范變換下保持不變.利用變分法對式(1)進行計算得與其對應的Euler-Lagrange方程為:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

根據式(5)—(9)構造的(1+1)維MCSH系統所對應的守恒能量函數為:

(10)

1)非拓撲邊界條件:(φ,N,Aμ,B)→(0,ev2/κ,0,0), |x|→∞.

(11)

上述柯西問題對應的初始數據為:

(12)

上述柯西問題應滿足的約束方程為:

(13)

2 主要結果及其證明

2.1 預備知識

為便于計算,本文取Chern-Simons耦合常數κ= 1.

2.2 解的整體存在性及其證明

定理1設初始數據(12)的存在空間為φ0∈H2,φ1∈H1,a0μ∈H2,a1μ∈H1,b0∈H2,b1∈H1,n0∈H2,n1∈H1,且該初始數據滿足約束條件(13),則系統(11)—(12)存在唯一的整體解,且該解滿足φ,Aμ,B,N∈C([0,∞),H2(R))∩C1([0,∞),H1(R)).

由上式進一步可得?μφ的L2-范數估計為:

用協變導數算符D1作用于式(9)的兩端可得:

(14)

由上式可得DμD1φ的L2-范數估計為:

3 系統所對應的能量函數守恒的驗證

為驗證能量函數E(t)關于時間是守恒的,本文對E(t)關于t求偏導數后再結合式(6)—(9)進行計算得: