基于線上線下混合式的“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”課程建設(shè)的探索與實踐

李艷艷，高美平，蔣建新，黃衛(wèi)華

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

“線性代數(shù)”是理、工、農(nóng)、經(jīng)管類專業(yè)必修的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課之一，關(guān)于該課程的教學(xué)改革、課程思政建設(shè)以及課程建設(shè)，文獻[1-6]進行了多角度的研究。文獻[1]以線性代數(shù)的某一個知識點為中心，將此知識點相關(guān)的定義、求法、性質(zhì)、特點、關(guān)系等以思維導(dǎo)圖的形式展現(xiàn)。文獻[2]對于線性代數(shù)課的網(wǎng)絡(luò)授課平臺進行探索，對于不同平臺的優(yōu)缺點進行了分析，最終對于多個平臺搭配的授課形式，給出了一些較好的建議。文獻[3]通過案例的形式，給出了課程思政元素。文獻[4]對于線上+線下的課程模式進行了構(gòu)建，線上應(yīng)該做什么，線下應(yīng)該完成什么任務(wù)，線上和線性如何有效配合，都給出了很好的案例。文獻[5]和[6]探索了課程思政實施的途徑和手段，構(gòu)建了基于課程思政的評價體系，摸索出了一些課程思政課堂設(shè)計案例。

“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”自2016 年在文山學(xué)院工科專業(yè)開設(shè)以來，主要面向電氣工程及其自動化、安全工程、冶金工程、人工智能等專業(yè)進行教學(xué)，學(xué)分3，學(xué)時48。2018 年12 月該課程作為校級重點課程立項建設(shè)，2020 年12 月通過結(jié)題驗收。在云南省本科高校大學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)考2022 年全面啟動的大背景下，2022 年3 月該課程作為校級本科一流課程立項建設(shè)。

“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”開設(shè)學(xué)期是大一上或下，這個階段學(xué)生的中學(xué)數(shù)學(xué)慣性思維已經(jīng)根深蒂固，容易掉入思維的陷阱，而面對抽象的概念、眾多的性質(zhì)、繁瑣的運算，都讓學(xué)生望而卻步。

為了提升人才培養(yǎng)質(zhì)量，有效應(yīng)對省級聯(lián)考，“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”課程教學(xué)團隊，著力探索課程建設(shè)，并積極實踐、反思，持續(xù)改進。

1 基于線上線下混合式的“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”課程建設(shè)的探索與實踐

基于專業(yè)人才培養(yǎng)方案，該課程的目標(biāo)設(shè)定為三維目標(biāo)。通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能達(dá)到以下三個目標(biāo)：

（1）能表述行列式、矩陣、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、相似矩陣等的相關(guān)概念、性質(zhì)、定理等，具備基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)技能。

（2）會計算行列式、矩陣等相關(guān)問題，會求線性方程組的解、矩陣的特征值與特征向量，會將矩陣對角化等。逐步培養(yǎng)學(xué)生對知識的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力，具備一定的分析判斷能力和科學(xué)計算能力。

（3）能夠運用線性代數(shù)的思想與方法分析問題和解決問題，具有一定綜合運用知識的能力。

課程目標(biāo)包含了知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面。為了達(dá)到以上3 個課程目標(biāo)，將從教師隊伍能力提升、教學(xué)模式優(yōu)化、課程內(nèi)容改進、課程資源完善、思政案例點庫建設(shè)、多元化評價體系、課程目標(biāo)達(dá)成分析7 個方面進行探索與實踐。

1.1 教師隊伍能力提升

通過送出去、校本研修兩種形式革新教師的教學(xué)理念，提升隊伍能力。送出去的主要途徑是依托高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心開展的短期培訓(xùn)、專題研討會、學(xué)術(shù)會議、高教國培等各類項目，以及線性代數(shù)的專題研討活動等提升教師能力。校本研修的形式有：（1）集體備課，每章一個主備主講教師；（2）示范課及教學(xué)研討，每學(xué)期兩位示范教師，團隊每位成員撰寫教學(xué)心得和反思；（3）以賽促教，課程團隊組團參加校級和省級的創(chuàng)新大賽、課程思政比賽，在比賽中探討、在比賽中提高、在比賽后反思；（4）以項目建設(shè)促發(fā)展，課程團隊成員積極申報校、省兩級教科研項目，在項目建設(shè)中提升教師能力。

1.2 教學(xué)模式優(yōu)化

本課程的教學(xué)模式是“線上線下混合式”。在已經(jīng)實施的兩年多時間里，對于線上的理解和認(rèn)識，一直不斷加深，從最初單一的學(xué)習(xí)通作業(yè)，到現(xiàn)在的教學(xué)視頻、課程簡介、滿足各種需求的學(xué)習(xí)通測試作業(yè)、線性代數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法、前沿視角等資源，每章選定一個內(nèi)容線上學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)，發(fā)布自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，讓學(xué)生小組匯報學(xué)習(xí)情況，并進行互評。線下的資源也在不斷豐富和優(yōu)化，同時還有教學(xué)方式的重構(gòu)、優(yōu)化和反思等。

1.3 課程內(nèi)容改進

課程內(nèi)容優(yōu)化，主要聚焦在五個章節(jié)所占用學(xué)時的調(diào)整，各章節(jié)重難點的確立，以及運用線性代數(shù)的思想與方法分析和解決問題能力板塊內(nèi)容的重構(gòu)方面。

（1）比如行列式部分，隨著對它作用的理解和認(rèn)識，該部分的學(xué)時已經(jīng)從最初的16 調(diào)減到目前的10，比較繁瑣、技巧性太強的高階行列式計算已退出課程主要內(nèi)容；（2）矩陣及其運算和線性方程組的解部分，學(xué)時一直在不斷增加，占到了整個課程學(xué)時的一半以上；（3）概念引進部分，全部用具體的實際應(yīng)用案例引入，有助于提高學(xué)生對線性代數(shù)概念本質(zhì)的認(rèn)識和理解；（4）分析和解決問題方面，首先錄制了《前沿視角》專題，其次在習(xí)題中每章都設(shè)計兩道經(jīng)典和熱點應(yīng)用類問題；（5）線性代數(shù)發(fā)展史方面，隨著課程思政教學(xué)的深入，對于歷史脈絡(luò)的梳理更加清晰，對于學(xué)科的起源和發(fā)展中做出重要貢獻的數(shù)學(xué)家的成就和數(shù)學(xué)家的精神進行學(xué)習(xí)，并制作了《數(shù)學(xué)星空 光輝典范——數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神》專題。

1.4 課程資源完善

課程資源完善分為線上資源和線下資源兩部分。線上教學(xué)主要依靠的是學(xué)習(xí)通平臺，搭建的資源有：（1）國家一流課程——山東科技大學(xué)的《課程思政—線性代數(shù)》視頻資源，課程團隊自建的課程簡介視頻；（2）以檢驗、提升計算能力為目的，填空題為載體的課前3 分鐘測試；以考察基本概念、定義、定理、性質(zhì)為目的，判斷題為載體的課后2 分鐘測試；以訓(xùn)練基本知識和技能為目的，選擇題為載體的課后測試；（3）網(wǎng)易公開課《前沿視角》視頻專題、《數(shù)學(xué)星空 光輝典范——數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)家精神》線性代數(shù)課程有關(guān)的數(shù)學(xué)家專題。線下資源采用（1）OBE 理念下“以學(xué)生發(fā)展為中心”的教學(xué)設(shè)計的完善；（2）教學(xué)課件優(yōu)化；（3）習(xí)題冊的進一步完善，選取題目的典型性和代表性，應(yīng)用題的經(jīng)典性和先進性等不斷改進；（4）作業(yè)記錄單的優(yōu)化，尤其是思維導(dǎo)圖部分，除了每章的思維導(dǎo)圖外，還規(guī)劃了7 個知識點的思維導(dǎo)圖；（5）矩陣運算易錯問題歸類總結(jié)；（6）線性代數(shù)中常用數(shù)學(xué)思想方法的整理和案例收集；（7）章節(jié)測試題的優(yōu)化；（8）期中考試卷和期末模擬卷的題庫建設(shè)；（9）各種資源的配套答案的補充完善。

1.5 思政案例點庫建設(shè)

線性代數(shù)課程思政案例點庫建設(shè)的理念是：以文化人，“文”是指數(shù)學(xué)的歷史與文化；以人育人，“人”是指數(shù)學(xué)家的故事及科學(xué)精神；以哲明人，“哲”是指數(shù)學(xué)所蘊含哲學(xué)思想和人生哲理；以用樹人，“用”是指數(shù)學(xué)的精彩應(yīng)用。

知識點與相關(guān)思政元素深度融合的可進行思政教育的知識點構(gòu)成了思政案例點。按照文化自信、人生哲學(xué)、科學(xué)精神、哲學(xué)原理、數(shù)學(xué)文化、愛國情懷、創(chuàng)新思維七個角度進行挖掘和設(shè)計。

下面以矩陣與矩陣的相乘這節(jié)課的課程思政點為例進行展示。

（1）創(chuàng)新思維：通過展示重要保密的圖片，引出如何對這些信息進行加密？人臉識別、搜索引擎、數(shù)字圖像處理—圖像銳化、圖像增強等中的矩陣運算。通過明文、密文的轉(zhuǎn)化和解密，介紹矩陣乘法的應(yīng)用，并為逆矩陣的學(xué)習(xí)埋下伏筆。

（2）數(shù)學(xué)文化、科學(xué)精神：通過介紹矩陣的創(chuàng)立者英國數(shù)學(xué)家凱萊的人物生平和成長成才經(jīng)歷，感受凱萊身上的科學(xué)精神。

（3）愛國情懷：由凱萊為了劍橋大學(xué)接收女性學(xué)生所作出的貢獻為切入點，從而引出張桂梅老師為了麗江華坪的貧困女孩圓上大學(xué)夢的奉獻精神和愛國情懷。

（4）人生哲理：矩陣與矩陣的相乘計算過程中，要是有一個數(shù)字算錯，整個結(jié)果都將會全盤皆輸，這體現(xiàn)了“失之毫厘差之千里”的人生哲學(xué)，告誡學(xué)生做事要認(rèn)真、細(xì)致。

（5）數(shù)學(xué)思想方法：類比的數(shù)學(xué)思想方法，將數(shù)的運算與矩陣的運算進行類比，找出可比與不可比的運算類型。

（6）唯物辯證法：特殊與一般的關(guān)系，按照一般到特殊再由特殊到一般的認(rèn)識規(guī)律。先用2 行3列的矩陣與3 行2 列的矩陣做乘法，得出乘法的法則，然后將特殊推廣到一般，給出矩陣乘法的定義，再由一般去審視特殊。

1.6 多元化評價體系

課程的評價體系經(jīng)過兩年多的改革實踐和完善，現(xiàn)在基本成形。主要理念是過程性評價，形成性評價，多元化評價的有機結(jié)合。主觀評價與客觀評價融會貫通，客觀評價為主。

平時成績（50%），具體觀測點有線上、線下測試，書面作業(yè)、活動等。其中，出勤（5%），學(xué)習(xí)通測試（20%），翻轉(zhuǎn)（5%），作業(yè)冊（15%），作業(yè)記錄單（5%），章節(jié)測試（15%），期中測試（15%），課程思政小論文（5%），云南省大學(xué)數(shù)學(xué)線性代數(shù)聯(lián)考成績（15%）。

期末考試成績（50%），目前是課程團隊出卷，接下來計劃采用教考分離，出卷的單位有省級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)虛擬教研室建設(shè)共建單位、昆明學(xué)院、大理大學(xué)等友好合作單位。

1.7 課程目標(biāo)達(dá)成分析

對三個課程目標(biāo)的達(dá)成進行分析，著重對各個目標(biāo)存在的問題（教師、學(xué)生）進行總結(jié)，對下次的改進提出針對性措施。

以2021—2022 學(xué)年第1 學(xué)期的達(dá)成度分析中存在問題、原因分析、改進措施為例。

存在問題：本次命題的基本出發(fā)點是對綱對標(biāo)，在學(xué)生能力方面加大考核力度，首次出現(xiàn)了應(yīng)用線性代數(shù)的知識解決實際問題的內(nèi)容。學(xué)生答題情況：（1）判斷題得分率較低，反映出教師教學(xué)中對概念、定義、定理的教學(xué)重視不夠，學(xué)生對于基本知識的掌握存在差距；（2）一個向量在一組基下的坐標(biāo)問題，學(xué)生不能前后融匯貫通，知識的系統(tǒng)性不強；（3）矩陣的對角化，80%左右的學(xué)生找不到方法，亂做現(xiàn)象比較嚴(yán)重，說明這塊內(nèi)容的教學(xué)是無效的，理想化的；（4）應(yīng)用線性代數(shù)的基本思想方法解決問題方面，50%以上的學(xué)生，要么找不到線性代數(shù)的方法，要么受中學(xué)數(shù)學(xué)慣性思維的影響，用的方法不簡便，反映了學(xué)生還不能學(xué)以致用，理論與實際銜接卡殼，也說明課程目標(biāo)3 的達(dá)成不理想。

原因分析：（1）教學(xué)能力、教學(xué)水平有待繼續(xù)提升，教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新性還需加強，授課的水平也需提高，對于新時代的教學(xué)改革、課程前沿、課程思政等還需繼續(xù)研究；（2）本學(xué)期為了應(yīng)對云南省大學(xué)數(shù)學(xué)的線性代數(shù)聯(lián)考，授課進度比較快，對于學(xué)生在作業(yè)中存在的問題，沒有及時解決，為了趕進度，課程后期以教師的講為主，學(xué)生的主觀能動性發(fā)揮不好；（3）布置的作業(yè)有點貪多，有些不能完全消化；（4）對于基本概念、定義、定理等基礎(chǔ)知識和技能的教學(xué)和訓(xùn)練有些弱化。

改進措施：對于學(xué)生答題中反映出來的4 個方面的問題，改進措施有：（1）對于基本概念、定義、定理薄弱的現(xiàn)象，計劃在學(xué)習(xí)通設(shè)置判斷題專項；（2）對于系統(tǒng)性不強的問題，每章進行總結(jié)，并用思維導(dǎo)圖梳理知識之間的關(guān)聯(lián)，一部分思維導(dǎo)圖教師制作，一部分學(xué)生制作，多放手讓學(xué)生做一些事情；（3）矩陣對角化部分的教學(xué)，要落到實處，沉得下去，在系統(tǒng)梳理對角化步驟和練習(xí)方面再下功夫；（4）應(yīng)用題方面，加大訓(xùn)練力度，希望提高用線性代數(shù)的思想方法解決問題的能力，從而有望較好達(dá)成課程目標(biāo)3。

對于授課過程中和期末問卷調(diào)查反映出來的問題，改進措施有：（1）課前3 分鐘盡量在課前測，發(fā)揮真正的作用；（2）作業(yè)中反映出來的問題，要隨時解決，及時消化，不能累積；（3）適當(dāng)優(yōu)化學(xué)習(xí)通作業(yè)、章節(jié)測試題，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)；（4）在黑板上的粉筆板書，繼續(xù)加大力度，讓學(xué)生思維能持續(xù)跟著老師走；（5）課程思政的融入還不夠深刻，融入點單一，應(yīng)該多角度挖掘課程思政點，多研讀課程思政相關(guān)文獻，學(xué)習(xí)課程思政的理論知識，觀看優(yōu)秀課程思政比賽的視頻等；（6）線性代數(shù)團隊的充電和再提高工作要做到實處，計劃外出參加課程建設(shè)研討會，提高團隊的創(chuàng)新性和工作熱情，并將學(xué)到的知識融入到課程建設(shè)中，增加團隊的造血功能。

2 總結(jié)

本文對“工程數(shù)學(xué)—線性代數(shù)”課程的建設(shè)舉措進行了梳理，著重從教師隊伍能力提升、教學(xué)模式優(yōu)化、課程內(nèi)容改進、課程資源完善、思政案例點庫建設(shè)、多元化評價體系形成、課程目標(biāo)達(dá)成分析7 個方面，進行課程建設(shè)與實踐，經(jīng)過近兩年的實踐，達(dá)到了較好的效果。目前課程建設(shè)正站在了新的起點，踏上新的征程，課程團隊將繼續(xù)以更為頑強的拼搏精神，開啟新的課程建設(shè)之路。