具脈沖效應的漁業資源管理動力學模型

王明靖

（貴州財經大學數學與統計學院 貴州貴陽 550025）

脈沖微分方程不僅可以刻畫生物種群中許多的自然現象，如漁業養殖中的脈沖投放食餌和脈沖收獲等，還被廣泛應用于種群動力學中的資源管理研究，已經形成了較完整的理論[1-3]。1798年Malthus提出人口模型之后，荷蘭生物學家Verhulst引入環境最大容納量，人口增長方程就被改進為Logistic模型[4-7]。

近十年來，有學者將數學模型應用于漁業生產實踐，在漁業資源開發過程中，脈沖微分方程能夠更準確地描述和刻畫魚種群的動力學行為，根據水中魚的密度大小（魚數量）實施控制，稱之為“脈沖狀態反饋控制”[8]。但很少有學者考慮利用脈沖微分方程系統切換的方法研究漁業資源管理。

本文以Logistic模型為基礎，其中的環境容納量是一個變量，它是關于時間t的函數，通過建立脈沖收獲和擴大環境容納量的系統切換來研究單種群漁業管理問題，從而為魚種群的可持續生存提供有利條件，也為漁業資源管理提供有效的理論參考。

1 模型

考慮到魚種群成體帶來的經濟價值，本文構建模型如下式（1）。文中內稟增長率是指在最佳的生存環境條件下，維持最適生活水平的魚種群所具有的最大增長能力。此外，環境容納量是指魚種群在最佳的生存環境下所能維持的最大數量。環境容納量的衰減系數是指水質惡化或魚類小面積死亡對生存環境的影響。同時引入脈沖，對魚種群進行脈沖投放食餌μ（并不是一直連續對魚投放食餌），以此擴大魚種群的環境容納量，使得魚種群數量在最佳生存環境中盡可能增長。經過一段時間的飼養后，小魚會快速成長為成魚，然后適時進行脈沖收獲（類似捕大留小，而非竭澤而漁），這樣就既創造經濟價值，也不會破壞生態環境，從而促進漁業高質量發展。

其中，為魚種群的密度；為魚種群的環境容納量；分別表示魚種群在的內稟增長率；為種群在和的環境容納量的衰減系數；表示在時投放食餌以擴大環境容納量的量；h表示魚種群在時的收獲系數n表示正整數，表示種群的脈沖收獲周期，也就是脈沖投放食餌以擴大環境容納量的周期。

2 動力學分析

由陳蘭蓀的研究[3]，容易得到以下引理：

引理1假設是式（1）的解，即如果，那么當時，有

引理2式（1）的解為當t充分大時，存在一個常數使得

首先，研究式（1）的子系統：

引理3式（2）有全局漸近穩定的周期解。

證明：由式（2）的第1個方程和第3個方程，容易得到在脈沖點之間的解析解，即

頻閃映射為

因此計算得到式（4）的唯一不動點

定理1如果滿足那么式（1）的周期解是全局漸近穩定的。

證明：定義變換則式（1）對應的線性系統為

得到基解矩陣為

式（1）的第3個和第4個方程對應的線性化矩陣為

同理可得

基解矩陣為

式（1）的第7個和第8個方程對應的線性化矩陣為

由此可知矩陣M的特征值為

通過式（1）可得

另外，考慮比較方程

易求其線性系統的唯一全局漸近穩定的周期解為

定理2如果成立，那么式（1）是持久的。

證明：設是式（1）的解，由引理2可知，當時，有由式（1）有因此

由此可得

由式（1）可得

考慮脈沖微分方程

3 結論

本文通過種群動力學分析，驗證了脈沖投放食餌擴大環境容納量的切換單種群漁業管理模型，利用脈沖微分方程以及離散動力系統頻閃映射理論，得出了漁業資源管理控制閾值的充分條件：

結論表明：適當的脈沖投放食餌擴大環境容納量和脈沖收獲對魚種群的持續生存具有重要的促進作用，從而能夠保護漁業資源。顯而易見，脈沖投放食餌和脈沖收獲的確比連續投食和連續捕撈效果好，其不僅能夠降低成本，而且促進了漁業的可持續發展。