NM理論中積分真度的統一理論

王波, 惠小靜, 魯星

(延安大學 數學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

數理邏輯的特點在于形式化而不是數值計算,為了反映程度化的思想,20世紀50年代初,Rosser教授利用“指派真值”來刻畫邏輯公式和反映邏輯推理的真實程度[1],這種思想在Pavelka的系列文章[2]中得到了全面發展。后來有許多學者從不同角度提出了邏輯公式的程度化思想。

21世紀初,王國俊教授在經典二值命題邏輯中引入了命題的真度概念[3],提出了計量邏輯學理論,建立了一套近似推理模式之后,國內外學者展開了廣泛的研究,得到了一些重要結果[4-6]。但是以上所有結果都建立在均勻概率測度空間上。為此,文獻[7]利用賦值空間上的Borel概率測度在二值命題中引入了公式的概率真度概念。文獻[8]在ukasiewicz模糊邏輯系統uk、G?del模糊邏輯系統G?d、Product模糊邏輯系統Π和R0模糊邏輯系統這4種模糊命題邏輯系統中提出了公式的積分真度概念。文獻[9]在一類命題邏輯系統中借助文獻[7]的思想提出了利用積分定義公式真度的統一方法。文獻[10-11]在SMTL命題邏輯系統中提出了公式的積分真度理論。

本文將文獻[8]的思想和方法應用于NM命題邏輯系統中建立了公式積分真度的統一理論。首先,驗證了積分真度MP規則、HS規則;其次,引入了積分相似度和積分偽距離;最后,引進了隸屬函數和相容度的概念。值得注意的是,首先,文獻[8]的結果可納入到本文更廣泛的統一框架下;其次,在NM系統中,文獻[9]關于建立積分真度和相似度提出的假設條件全部成立;最后,本文的結果是對文獻[10-11]的進一步推廣,更加豐富了左連續三角模的模糊邏輯系統計量化研究。

1 預備知識

假設S={p1,p2,…}是可數集,ψ是S生成的自由代數,其中分別為,∨,→一元算子和二元算子。不同的蘊含算子和賦值格決定了不同的邏輯系統,下面介紹冪零極小邏輯NM的蘊含算子和相應的t-范數定義[12]

注1把標準的NM代數稱為[0,1]中的NM代數,通常取n(x)=1-x。

定義[0,1]上的二元算子&和→如下

x&y=x?ny,x→y=RNM(x,y)

(3)

注2從ψ到R區間[0,1]的(,∨,→)型同態v:ψ→[0,1]稱為ψ的R-賦值。

定義1冪零極小邏輯NM系統由以下12個公理模式和推理規則MP組成[13]

MP規則 由A,A→B推出B。

定義2設A=A(p1,…,pn)是ψ中含有n個原子公式p1,…,pn的公式,在A中把pi換成xi并保持,∨與→不變,但把它們理解為R單位區間上相應的運算,則得一n元函數:稱是由公式A所誘導的函數[14]。

定義3自然數列u1,u2,…叫斐波那契數列,若u1=u2=1,且un+un+1=un+2(n=1,2,…)[13]。

定義4設?是[0,1]上的左連續三角模,在[0,1]上定義二元運算→如下[15]

b→c=∨{x|x?b≤c}x,b,c∈[0,1]

則

1) →是?與相伴隨的蘊含算子,即a?b≤c當且僅當a≤b→c。

2)b→c=1當且僅當b≤c。

3)a≤b→c當且僅當b≤a→c。

4)a→(b→c)=b→(a→c)。

5) 1→c=c。

7)b→c關于c單調遞增,關于b單調遞減。

2 NM理論中的積分真度

(4)

被稱為A的R-真度。

定理1設A∈ψ,則τNM(A)=1當且僅當A是RNM-幾乎重言式。

證明若A是RNM-幾乎重言式,則τNM(A)=1,反過來,設A=A(p1,…,pn)∈ψ且τNM(A)=1,則

命題1設A∈ψ,則τNM(A)=1-τNM(A)。

推論1設A∈ψ,則τNM(A)=0當且僅當A是RNM-幾乎矛盾式。

引理1設f(x,y)=RNM(x,y),則f(a,c)+1≥f(a,b)+f(b,c)。

證明設a≤c,則f(a,c)=1。

1) 設bb時,f(a,b)=1-a,f(b,c)=1,所以

f(a,c)+1≥f(a,b)+f(b,c)

設b

f(a,c)+1≥f(a,b)+f(b,c)

2) 設a≤b≤c,類似1)的證明。

3) 設c

當a>c時,類似可證f(a,c)+1≥f(a,b)+f(b,c)成立。

綜上所述,設f(x,y)=RNM(x,y)時,f(a,c)+1≥f(a,b)+f(b,c)成立。

定理2設→:[0,1]2→[0,1]是二元函數,a,b,c∈[0,1],I為指標集,則

c≥b+b→c-1

證明由引理1可得,RNM(a,c)+1≥RNM(a,b)+RNM(b,c),所以a→c+1≥a→b+b→c,令a=1,則1→c+1≥1→b+b→c,由定義4的第5)條得,c+1≥b+b→c,即c≥b+b→c-1。

定理3(積分MP規則)設A,B∈ψ,若τNM(A)≥α,τNM(A→B)≥β,則τNM(B)≥α+β-1。

推論2設A,B∈ψ,若τNM(A)=1,τNM(A→B)=1,則τNM(B)=1。

定理4(積分HS規則)設A,B,C∈ψ,若τNM(A→B)≥α,τNM(B→C)≥β,則τNM(A→C)≥α+β-1。

證明因為(B→C)→((A→B)→(A→C))是重言式[13],所以由定理1得,τNM((B→C)→((A→B)→(A→C)))=1。因為τNM(B→C)≥β,所以由定理3得,τNM((A→B)→(A→C))≥1+β-1=β,又因為τNM(A→B)≥α,所以再由定理3得,τNM(A→C)≥α+β-1。

推論3設A,B,C∈ψ,若τNM(A→B)=1,τNM(B→C)=1,則τNM(A→C)=1。

命題2假設In=p1∧…∧pn,Un=p1∨…∨pn,是S中不同的原子公式,那么

(5)

例1計算τNM(p→q)和τNM(p→p∨q)的值。

解Δ1={(x,y)|x≤y},

Δ2={(x,y)|1-x>y},

Δ3={(x,y)|1-x≤y},

3 NM理論中的積分相似度

定義8設A,B∈ψ,則稱

(6)

為A與B之間的R積分相似度。

命題3設A,B∈ψ,則

1)ξNM(A,A)=1。

3)ξNM(A,B)=ξNM(B,A)。

定理5設A,B∈ψ,則ξNM(A,B)=1,當且僅當A與B幾乎邏輯等價。

引理2設f(x,y)=RNM(x,y)∧RNM(y,x),則f(a,c)≥f(a,b)+f(b,c)-1。

證明

1) 設a≤c,并且1-c>a時,f(a,c)=1-c;

2) 設a≤c,并且1-c≤a時,f(a,c)=a。

先討論第1)種情況

①設bb時,f(a,b)=1-a,f(b,c)=1-c,所以f(a,b)+f(b,c)=2-a-c,因此f(a,c)≥f(a,b)+f(b,c)-1。

設b

②設a≤b≤c,類似于①的證明。

③設c

④對于第2)種情況以及a>c時,類似可證f(a,c)≥f(a,b)+f(b,c)-1成立。

綜上所述,設f(x,y)=RNM(x,y)∧RNM(y,x)時,f(a,c)≥f(a,b)+f(b,c)-1成立。

定理6設A,B,C∈ψ,若ξNM(A,B)≥α,ξNM(B,C)≥β,則ξNM(A,C)≥α+β-1。

證明由引理2可得,

ξNM(A,B)+ξNM(B,C)-1≥α+β-1

4 NM理論中的積分偽距離

定義9設A,B∈ψ,規定

ρNM(A,B)=1-ξNM(A,B)

(7)

定理7ρNM:ψ×ψ→[0,1]是ψ上的積分偽距離。設A,B,C∈ψ,則

1)ρNM(A,A)=0。

2)ρNM(A,B)=ρNM(B,A)。

3)ξNM(A,C)≥ξNM(A,B)+ξNM(B,C)-1。

命題4設A,B∈ψ,當A為定理時,

ρNM(A,B)=1-τNM(B)

(8)

5 NM理論中的積分相容度

定義10設A∈ψ,Γ?ψ,從Γ到A的準推理是一個有限序列A1,…,An,其中An=A,且對每個i≤n,Ai∈T∪Γ,或者有j,k

命題5設A∈ψ,Γ?ψ,A∈D(Γ(n)),如果對每個B∈Γ均有τNM(B)≥α,則

τNM(A)≥un(α-1)

(9)

式中,un是斐波那契數列的第n項。

證明證明過程類似文獻[14]中的證明,在此不再重復。

注3由(9)式可以看出,當Γ中各公式的真度小于1時,則隨著推演長度的增加,所得準推論的真度將減小。

定義11設Γ?ψ,令D(Γ)={A∈ψ|(q)Γ

定義12假設A,B∈ψ,那么

div(Γ)=sup{ρNM(A,B)|A,B∈D(Γ)}

(10)

稱div(Γ)為理論Γ的發散度。當div(Γ)=1時稱Γ為全發散理論。

定義13假設Σ是ψ中的非空子集,那么

d(Σ)=sup{ρNM(A,B)|A,B∈Σ}

(11)

被稱為Σ的直徑。

注41) 如果Σ是ψ包含一個定理的有限子集,那么

d(Σ)=1-τNM(A)(A是Σ中最小真度公式)

(12)

2)d(Γ(n+2))>d(Γ(n))(n越大,d(Γn)越大)

(13)

定理8設A,B是NM中的公式,Γ是NM中的理論,d(Γ(n))-d(Γ(b))=1(A∈D(Γ(n)),B∈D(Γ(b)),b是常數,A的推演長度為n,B的推演長度為b)當且僅當A是矛盾式B是重言式。

證明假設d(Γ(n))-d(Γ(b))=1,根據(12)式及真度的取值范圍知,0≤d(Γ(b))≤1,0≤d(Γ(n))≤1。當d(Γ(n))-d(Γ(b))=1時,只有當d(Γ(n))=1,d(Γ(b))=0時等式成立,所以τNM(A)=0,τNM(B)=1,即A是矛盾式B是重言式。

假設A是矛盾式B是重言式,所以τNM(A)=0,τNM(B)=1,由(12)式得,d(Γ(n))=1-τNM(A)=1,d(Γ(b))=1-τNM(B)=0,所以d(Γ(b))-d(Γ(n))=1。

定義14假設A,B是NM中的公式,Γ是NM中的理論,定義

(A∈d(Γ(n)),B∈d(Γ(b)))

(14)

并且

「d(Γ(n))-d(Γ(b))?=

(15)

稱i(Γ)為NM中理論Γ的極性指標。

定義15假設Γ是NM中的理論,那么

(16)

稱ζ(Γ)為NM中理論Γ的相容度。(i(Γ)是由上述定義14給出)。

證明假設A1=p2,Ak=p1→Ak-1(k=2,3,…),p1,p2是不同的原子公式,并且(v(p1)=x1,v(p2)=x2),根據(2)～(3)式得

所以

因此

所以

定理10假設Γ是NM中的理論,那么

1)Γ是相容的當且僅當i(Γ)=1。

2)Γ是不相容的當且僅當i(Γ)=0。

證明假設Γ是不相容的,那么Γ├C(C是矛盾式),因此C∈d(Γn)∈D(Γ)。因為每個理論都包含定理,所以A∈d(Γb)∈D(Γ)(A是重言式)。因此得,d(Γ(n))-d(Γ(b))=1,所以i(Γ)=0。另一方面,假設i(Γ)=0顯然成立,因此(2)式成立,(1)式自然也成立。

定理11假設Γ是NM中的理論,那么

1) 如果i(Γ)=0,則div(Γ)=1,但反之不成立。

2) 如果div(Γ)<1,則i(Γ)=1,但反之不成立。

證明假設i(Γ)=0,根據定理10得,Γ是不相容的,根據(10)～(12)式知,div(Γ)=sup{pNM(A,B)}=1。另一方面,假設div(Γ)=1,即理論Γ是完全發散的,但不能推出Γ是不相容的,即i(Γ)=0,令Γ=S是由所有原子公式構成的,見文獻[18],知Γ=S是完全發散并且是相容理論。根據定理10知,當理論Γ是相容時,i(Γ)=1,因此div(Γ)=1不能推出i(Γ)=0。因此(1)式成立,(2)式自然也成立。

定理12假設Γ是NM中的理論,那么

1)Γ是完全相容的,當且僅當ζ(Γ)=1。

2)Γ是不相容的,當且僅當ζ(Γ)=0。

證明

1) 假設Γ是完全相容的,顯然成立。假設ζ(Γ)=1,,如果Γ不是完全相容的,那么Γ就有2種情況,第一種情況是Γ是相容的,那么div(Γ)≠0,由定理10的第1)條知,i(Γ)=1,所以由(16)式知,ζ(Γ)<1,另一種情況類似可證明成立。

2) 假設Γ是不相容的,顯然成立。假設ζ(Γ)=0,則由(16)式和div(Γ)≤1知,i(Γ)≤0,因為i(Γ)∈{0,1},因此i(Γ)=0,由定理10的第2)條知,Γ是不相容的,因此(2)式成立。

例2假設Γ是NM中的理論,現有理論Γ中的3個公式分別為A,B,C,它們的真度分別為τNM(A)=0.6,τNM(B)=1,τNM(C)=0.7,試比較理論Γ1={A,B}的相容度與理論Γ2={B,C}的相容度大小關系。

注5例2的結果驗證了定義的相容度具有合理性。

6 結 論

本文在NM系統中首先引進了積分真度的概念,驗證了積分真度MP規則、HS規則,其次利用積分真度的概念引進了積分相似度和積分偽距離的概念,并驗證了它們之間的一些性質,最后引進了極性指標與相容度的概念,驗證了完全相容理論的相容度為1,不相容理論的相容度為0。