臨近空間高機動目標二次濾波軌跡跟蹤及預測

何君宇 寧國棟 王曉峰 張科南 王江華

北京機電工程研究所,北京 100074

0 引言

近年來,隨著臨近空間高速飛行技術的發展,各軍事大國在臨近空間高速飛行器領域的競爭也進一步加劇[1]。區別于傳統飛行器,臨近空間高速飛行器飛行在臨近空間,具有機動性能強、飛行速度快、打擊范圍廣的特點[2],現有防御系統難以對其進行有效攔截,其主要難點在于對來襲目標軌跡的準確跟蹤及預測?，F有文獻大多是對于滑翔高速飛行器或高速飛行器短時機動跟蹤及預測的研究[3-7]。

針對高速機動飛行器的軌跡跟蹤預測問題,常采用以卡爾曼濾波(Kalman Filter,KF)為代表的濾波算法對目標相對距離、角度等原始信息進行加工,結合構建的目標機動模型,實現對目標軌跡的跟蹤。因此濾波算法是目標軌跡跟蹤及預測的關鍵技術。其過程主要分為2步:1)建立目標的機動模型;2)構建合適的濾波算法。

現有的高速目標的機動模型建立方法主要有2種:1)基于彈道方程,構建目標的動力學模型[8]。該方法先驗要求過多,模型的魯棒性差。2)基于目標的運動學統計特性,構建目標的機動模型,如CT模型、singer模型等。其優點是模型對于不同機動目標的適應性較強。而針對強機動目標的軌跡跟蹤問題,常采用交互多模型濾波方式。其原理是依據目標的機動形式,建立多機動模型,分別進行濾波,并通過概率模型融合各通道的濾波結果,以獲取目標的準確運動信息[9-11]。

濾波算法是在目標觀測信息的基礎上,結合模型信息,根據特定的濾波準則,得到系統狀態的最優估計的算法。KF算法僅適用于線性高斯系統,而針對于復雜的非線性系統常常利用EKF、容積卡爾曼(Cubature Kalman Filter,CKF)等非線性濾波算法,由于在對非線性系統進行“線性”擬合的過程中,不可避免地丟失了某些系統信息,所以導致對非線性系統狀態的估計量存在較大偏差,線性/非線性融合的濾波方式提供了一種解決思路。趙彥明等[12]針對捷聯慣導系統大失準角下非線性濾波器狀態維數過大的問題,提出了KF/EKF2混合濾波方法,驗證了混合濾波算法性能優于單濾波算法。但是對于高速機動目標的跟蹤問題,現有研究大多采用單次非線性濾波,對目標的運動狀態跟蹤精度不足。

由于實際跟蹤過程中,環境、系統噪聲、人為干擾等因素導致單一觀測器的在進行長距離跟蹤時效果不佳。多觀測器協同跟蹤是提升跟蹤系統的穩定性及準確度的有效方式。文獻[13]提出一種基于雷達和紅外傳感器優化數據壓縮的跟蹤信息融合算法,利用多傳感器數據融合,實現信息互補,提高目標跟蹤精度和識別能力。范成禮等[14]針對空天高速飛行器的多傳感器協同跟蹤的任務規劃及優化算法進行研究,驗證了多傳感器協同觀測能滿足臨近空間高速飛行器跟蹤的要求。

基于跟蹤目標獲取的目標運動信息,可預測來襲目標的軌跡,提高攔截精度。翟岱亮等[15]等依據跟蹤信息,采用最小二乘擬合實現對軌跡的預測,但其建模過程需要對飛行器的相關參數進行假設。文獻[16]對滑翔式臨近空間高速飛行器軌跡預測問題,提出了一種基于氣動加速度經驗模態分解(EMD)的軌跡預測方法,該方法需要對飛行器的氣動特性進行一定的假設。文獻[17]基于無人機動力學模型結合卷積神經網絡預測出無人機軌跡。

本文針對臨近空間高機動目標大范圍機動飛行的軌跡跟蹤及預測問題,提出了基于多觀測器協同觀測的二次濾波算法及基于ARIMA模型的軌跡預測方法。首先采用多觀測器協同跟蹤方法,對多觀測器數據進行凸組合融合。其次針對臨近空間高機動目標,建立多角速度的協調轉彎模型,對單個觀測器的原始數據采用交互多模型二次濾波方法,獲取目標準確的速度及角速度信息。最后基于目標跟蹤得到的運動狀態信息,采用ARIMA模型對目標角速度進行預測,結合濾波模型中的預測步,實現了對運動軌跡的準確預測。

1 跟蹤系統模型

1.1 狀態模型構建

臨近空間高速飛行器飛行階段分為助推段、巡航段和俯沖段3個部分。圖1為臨近空間高機動目標機動飛行彈道。

圖1 臨近空間高機動目標三維機動飛行示意圖

臨近空間高機動目標在巡航段的縱向機動性能較差,但其具有良好的橫側向機動能力[18]。因此本文重點分析臨近空間高機動目標的橫側向機動運動的軌跡跟蹤問題。

假設目標在飛向目的地的過程中為避開攔截區進行轉彎機動。角速度為ω。

(1)

(2)

式中:F是離散狀態轉移矩陣,W是狀態噪聲,X(k)與X(k-1)分別表示第k步與第k-1步的系統狀態,其包括x,y方向的坐標位置及速度。

(3)

角速度ω=0表示目標進行勻速直線運動,ω>0表示目標逆時針轉彎,ω<0表示目標順時針轉彎。針對吸氣式高速目標的機動性可通過勻速圓周運動的相關公式估算出目標的轉彎速度的范圍,即獲取±ωmax。對運動模型的角速度取ωmax或-ωmax或0即可得到目標的三種運動模型。

1.2 觀測模型

偵察衛星、雷達等觀測器為跟蹤系統提供目標運動的觀測值,其對目標的量測信息一般為目標距離雷達的徑向距離r(k)以及目標相對于雷達的方位角α(k),假設觀測點位置為x0、y0。由此可得離散化系統觀測模型如式(4)所示。

(4)

式中:V表示觀測模型的系統噪聲,取值為diag(1,0.1),Z(k)表示第k步系統的觀測信息Z(k)=[r(k),α(k)]T,X(k)表示第k步系統的狀態量,分別表示第k步目標位置(x(k),y(k))距離觀測點(x0,y0)的x方向與y方向的相對距離。

2 軌跡跟蹤算法

2.1 軌跡跟蹤算法流程

圖2 臨近空間高機動目標軌跡跟蹤算法

步驟1:狀態模型更新

依據目標的飛行狀態進行多模型交互,獲取更新后的3種狀態模型。

步驟2:交互多模型非線性濾波

分別針對每個觀測器的觀測數據,采用EKF算法,結合3種狀態模型做多模型融合濾波。

步驟3:交互多模型二次線性濾波

經過第2步濾波過程后,得到目標線性的軌跡信息,利用非線性濾波后的狀態估計值作為線性濾波器的輸入,利用多模型線性濾波的方式,對目標的速度及角速度信息進行跟蹤匹配。

步驟4:多觀測器數據融合

以下具體介紹所提出的臨近空間高機動目標軌跡跟蹤算法用到的模型與濾波算法。

2.2 非線性/線性融合二次濾波

針對觀測系統為非線性的軌跡跟蹤問題,采用EKF-KF二次濾波的方式進行濾波計算。首先利用單次非線性濾波算法對非線性系統進行濾波,再將濾波后得到的線性結果作為線性濾波的輸入,通過二次線性濾波實現對目標運動狀態的穩定跟蹤。

1)單次非線性濾波

采用EKF對非線性的原始觀測信息進行濾波,由前文對系統方程的推導,第k步系統方程表達式為:

(5)

(6)

然后,利用雅可比矩陣通過線性KF算法即可獲得卡爾曼增益Kk,再將先驗狀態估計值與觀測值通過卡爾曼增益進行融合,獲取最終的濾波結果。下標1表示第1次濾波結果。

2)二次線型濾波

通過EKF濾波過程后,得到目標的軌跡信息,利用非線性濾波后的狀態估計值作為線性濾波器的輸入,利用KF算法,對目標的速度及角速度信息進行跟蹤匹配。線性濾波系統的系統方程為:

(7)

圖3 KF算法

ω(k)=μ1(k)ω1(k)+μ2(k)ω2(k)+μ3(k)ω3(k)

(8)

式中:ω1(k),ω2(k)和ω3(k)分別表示第k步3種機動模型的角速度,μ1(k)、μ2(k)和μ3(k)分別表示第k步3種模型對應的概率,ω(k)表示第k步濾波得到的目標角速度信息。

2.3 交互多模型濾波

針對臨近空間高機動目標的跟蹤問題,目標存在勻速直線、轉彎等多種機動形式,單一的直線運動或轉彎模型無法有效表達目標運動特性,故采用交互多模型濾波的方式。

1)模型更新

在第k步,濾波開始前系統的狀態模型分別對應著3個角速度ω1,ω2和ω2,按從大到小排列,其對應的模型概率分別為μ1(k-1),μ2(k-1)和μ3(k-1)。ω2設為中心模型,ω1設為右變模型,ω3設為左變模型,通過前文推導,模型的角速度取值范圍為[-ωmax,ωmax],以[-ωmax,0,ωmax]為初始模型,每次濾波前通過模型概率的大小改變中心模型ω2,之后結合上一步的模型后驗概率以及模型變化閾值,更新右變模型與左變模型。

2)多模型融合

(9)

2.4 多觀測器跟蹤算法

針對臨近空間高機動目標遠距離機動飛行的軌跡跟蹤問題,采用同源多觀測器對目標進行跟蹤。其原理是通過將多觀測器的跟蹤數據進行數據融合,從而解決單一觀測器跟蹤精度低、穩定性差的問題。數據融合的方式按模型結構可分為:分布式、集中式和混合式3種[20]。本文采用分布式的數據處理方式,即首先分別濾波處理每個觀測器采集到的距離與偏角等位置信息,之后再將濾波后的目標軌跡信息進行數據融合。

(10)

3 基于ARIMA模型的軌跡預測

3.1 ARIMA模型概述

ARIMA模型即是通過自回歸模型(Autoregressive,AR)、移動平均模型(Moving Average,MA)以及差分過程構建的時間序列模型。其步驟一般包括:數據平穩性檢驗、模型參數確立、構建時間序列、模型預測、模型準確性評估。模型參數一般包括p,q和d分別對應自回歸項、移動平均項以及數據平穩化的差分次數。

由于時間序列常常為非平穩序列,所以需要利用差分環節對時間序列進行平穩化處理。通過單位根(Augmented Dickey-Fuller,ADF)檢驗及非線性趨勢(Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin,KPSS)檢驗,判斷時間序列的平穩性,確定模型的參數d。AR描述當前值與歷史值之間的聯系,用變量自身的歷史時間數據對自身進行預測,p階自回歸過程的公式為:

(11)

式中:yt是當前值,μ是常數項,p是階數,表示當前值與多久前的值有關,γi是自相關系數,εt是誤差。移動平均模型(MA)關注的是自回歸模型中的誤差項的累積。q階自回歸過程的公式為:

(12)

移動平均法能有效消除預測中的隨機波動。在獲取平穩序列后,即可通過ACF與PACF函數根據表1,選取p和q的值,從而構建ARIMA預測模型。

表1 p、q參數確定規則

3.2 基于ARIMA模型軌跡預測

通過對目標運動狀態的準確跟蹤濾波,可以獲得目標準確的角速度時間序列信息,基于此對目標的軌跡進行預測。算法的流程如圖4所示。

圖4 軌跡預測算法

1)平穩性分析:判斷角速度序列信息的平穩性,依據ADF和KPSS檢驗確定系統的差分系數d。

2)模型參數選取:依據平穩的序列信息,繪制其ACF與PACF函數的圖像,根據p,q函數的確定準則,選取適合的p,q值,從而構建系統的ARIMA預測模型。

3)角速度預測:依據ARIMA模型,預測目標的角速度信息。

4)軌跡預測:將預測出的角速度序列代入濾波算法中的預測步,實現對飛行器軌跡的預測。

4 仿真校驗

4.1 目標運動軌跡

考慮在平面直角坐標系內描述飛行器的運動軌跡。假設目標的初始位置x0=0km,y0=0km,初始速度為vx0=2km/s,vy0=0km/s。飛行航跡中避讓2個障礙區,其中心坐標分別為(650km,-406.2km)與(2011.2km,202.69km),障礙區半徑為500km。本文考慮目標飛行過程中發現需避讓的障礙區后,采用最大過載進行機動飛行;隨后,通過臨近空間高機動目標巡航段的飛行速度,可估算出目標的最大角速度。當目標飛離障礙區后,即以最小能量損失飛行方式,沿障礙區切線方向直線飛向目的地。

目標飛行過程分為7個階段:t=1～150s,目標沿初始方向勻速飛行;t=151～203s,目標以角速度ω=0.01rad/s調整飛行角度;t=204～342s,以角速度ω=-0.004rad/s進行勻速轉彎飛行,繞過障礙區;t=343～712s,目標沿障礙區切線方向勻速直線向目的地飛行;t=713～816s,目標抵達第2障礙區附近,以角速度ω=0.01rad/s進行勻速轉彎飛行,調整飛行航向角;t=817～1133s,以角速度ω=0.004rad/s進行勻速轉彎飛行,繞過障礙區;t=1134～1893s,目標沿障礙區切線方向,以最短距離向目的地飛行。

單觀測器的位置為(550,-150)km,多觀測器位置分別為(550,-150)km、(2230,100)km、(3200,100)km。采樣周期為0.2s,觀測噪聲取值為diag(1,0.1),狀態噪聲取值為diag(0.1,0.1,0.1,0.1)。

4.2 多觀測器跟蹤仿真

針對臨近空間高機動飛行器,本文利用交互多模型EKF濾波算法分別對單觀測器跟蹤和多觀測器跟蹤進行了仿真校驗。并令X方向位移誤差為δx(單位km),3種模型的概率轉移矩陣如式(13)所示。

(13)

由圖5和6可發現隨著目標運動距離的增加以及目標出現機動飛行,觀測器的跟蹤效果不斷下降,而多觀測器跟蹤效果良好,X方向與Y方向軌跡跟蹤誤差在0.5km范圍內。原因是單一觀測器關于目標的觀測信息隨著距離的增加以及目標航跡角的變化,觀測誤差不斷增加,最終出現發散現象。而多觀測器在多個不同位置對目標進行觀測,通過凸組合的數據融合算法對多個觀測器的觀測數據進行融合,相對于單觀測器,其對于飛行軌跡的跟蹤效果顯著提升。

圖5 單觀測器與多觀測器軌跡跟蹤

圖6 X,Y方向位移誤差對比

4.3 交互多模型二次濾波仿真結果分析

采用單次PF與EKF算法與二次濾波算法進行對比。PF算法是通過非參數化的蒙特卡洛模擬方法實現濾波,其核心思想是利用一系列隨機采樣粒子的加權和來表示后驗概率密度。PF采樣粒子數為200個。X方向速度跟蹤誤差為δvx,角速度跟蹤誤差為δω。由圖7可發現,2種單次濾波方法得到的角速度跟蹤值存在較大的誤差,而二次濾波后的角速度跟蹤十分穩定,誤差在5%以內。對于速度跟蹤,如圖8所示,單次濾波算法,對速度、角速度的跟蹤出現較大誤差,二次濾波在X與Y方向速度跟蹤誤差都在2%以內,可準確地跟蹤目標的飛行速度,跟蹤效果優于PF與EKF單次濾波算法。二次濾波算法通過線性/非線性濾波融合濾波的方法,實現了對系統狀態量的準確跟蹤。

圖7 角速度跟蹤誤差

圖8 X方向速度跟蹤誤差

依據軌跡跟蹤獲取的角速度信息,利用ARIMA模型擬合角速度的時間序列模型,對接下來1000步的角速度進行預測,之后結合目標機動模型預測目標運動軌跡。采用300步跟蹤角速度信息,由于ARIMA模型要求擬合序列滿足平穩性需求,所以先對角速度序列信息進行平穩化處理,由3.1節表1對p,q值選擇的準則,結合圖9可知,ARIMA預測模型的p=6、q=7時,能夠滿足ACF與PACF函數值都在95%置信區間內。即說明,當AR模型參數p取6以及MA模型參數q取7時,AR模型與MA模型共同構成的ARIMA時間預測序列對真實目標時間序列的擬合程度最好,誤差最小。預測序列模型如式(14)所示:式中y(t)表示預測的值,e(t)表示預測值附近的誤差值,通過該ARIMA時間序列預測模型,可較好地預測目標軌跡。

圖9 PAC與PACF函數

(14)

由圖10可知,依據目標過去300步的角速度信息,通過ARIMA模型可預測出目標將來1000步的角速度信息。

圖10 角速度預測結果

結合預測的角速度信息與濾波算法的預測步預測目標軌跡。如圖11所示,發現預測誤差在1000步以內都保持在較小范圍,預測誤差不超過0.5km。說明該方法可有效預測目標的運動軌跡。由于該方法無需以大量的先驗信息作為基礎,提高了軌跡預測算法的工程實用價值。

圖11 軌跡跟蹤及預測結果

5 結論

發展了基于多傳感器協同觀測的交互多模型二次濾波算法,角速度跟蹤誤差從30%降低到5%以內,速度跟蹤誤差從20%降低到2%以內。構建了基于ARIMA模型的軌跡預測算法,可實現對機動目標未來100s時間內運動軌跡的穩定預測,誤差不超過0.5km。對臨近空間高機動來襲目標的攔截問題提供了一種有效的解決策略。