關于高中數學排列組合教學的實踐

陶永芹

排列組合是高中代數的一個難點，也是高考必考內容．由于排列組合知識很抽象，所以許多學生在學習時都感覺到晦澀難懂．其實，排列組合的知識點較少，內容也相對簡單．只要掌握排列組合的規律和要點，學生就能理解排列組合的意義，就能分析和解決排列組合問題．本文將排列組合當做一個獨立的知識點，就高中數學排列組合教學實踐策略進行分析和總結，以期對排列組合教學有所幫助．那么，在高中數學排列組合教學實踐中，要注意哪些問題，注意哪些方面？

１ 結合學情，重視基礎知識講解

高中數學排列組合教學內容雖然相對簡單，但是它的涉及面較廣，而且許多問題對思維的容量要求較大．因此，在學習時，學生時常會感到困難．不過，結合內容來看，排列組合問題均涉及加法、乘法這兩個原理的應用．排列組合的要求主要有兩點：一是讓學生正確理解加法原理和乘法原理，二是讓學生正確理解排列、組合的意義，掌握排列、組合計算方法和公式，能解決簡單的問題．因此，在排列組合教學中，教師應從學生出發，將加法、乘法這兩個原理的講解貫穿教學的始終．

例１ 商店里有６件上衣，４條褲子，某人要買上衣、褲子各一件，在搭配衣服時，他有多少種不同的搭配方式？

解析

可分兩步求解該問題，第一步，要想買上衣，有Ｃ１６ 種選法．第二步，要想買褲子，有Ｃ１４ 種選法．因此，根據乘法原理，可知共有Ｃ１６×Ｃ１４＝２４ 種不同的搭配方法．

點評

解這道題的關鍵是分清分類與分步的區別，完成一件事有狀種方法，這些方法是彼此獨立的．一整件事，要分步完成，各個步驟都不能缺少，因此用到乘法原理．教師結合學生實際情況，運用案例講解基礎知識，可以降低基礎知識的理解難度，加深學生的記憶．

２ 避繁就簡，抓住問題的本質

在日常生活中，排列、組合是兩種常見的現象．而數學與生活有著密切的關聯，所以高中排列組合教學內容的涉及面較廣，許多問題的解決方法也比較靈活．不過，排列組合的要點就是加法原理和乘法原理，與其有關的題目、內容不論如何變化，也都是“萬變不離其宗”．因此，在排列組合教學中，教師應抓住問題的本質，避繁就簡，化難為易，讓學生掌握學習、解題的關鍵，避免陷入“見題就算、又忙又亂”的境地．

例２ 從１，２，３，４ 這４ 個數字中取若干個數相加，可以得到多少個不同的和？

解析

許多學生一看到這道題，就想到用加法原理解決，其思路如下：可從這四個數中?。保?，３或４個數來作和，可以得到和Ｃ１４＋Ｃ２４＋Ｃ３４＋Ｃ４４＝１５，但１＋４＝２＋３，１＋２＝３，１＋３＝４，１＋２＋３＝２＋４，１＋２＋４＝３＋４，所以可以得到的不同的和為１５－５＝１０個．

點評

這種解法雖然思路清晰，但是解題方法復雜，一步出錯，全部都錯．可以讓學生換種思路，將和定為小于或等于最大和１０，大于或等于最小和１的整數，整數的數量是１０個．這種方法明顯更為簡單，因為該解法抓住了“和”的分布實質，避開對相同的和的分析，也避開了排列組合中那些重復出現的問題，所以這種方法既簡單快捷，也更加準確．在解題時，教師應引導學生對題意進行細致的分析，抓住問題的本質，直觸問題的核心．

３ 精講精練，系統總結做題技巧

排列組合問題類型比較多，不同的問題經常會帶有標配的詞語，處理問題的原則、解題的方法有所不同．如經常會將相鄰的元素局部排列成“一個”元素，然后再進行整體排列．解決此類問題，可以采用從“局部到整體”的排法．對于消序類問題，一般是先排列，再消去幾個元素的順序，或者讓其他元素選取位置排列，留下空位，再排列．在遇到排列組合問題時，教師應根據排列組合的特征，剝絲抽繭，拆分問題細節，精講精練，并系統總結解題技巧，讓學生抓住問題常用的詞語，準確判斷問題的類型，應用常用的方法解決問題．

例３ 某省道路旁有１０盞路燈，為了節約用電，準備關掉３盞路燈，不過，道路兩端的路燈不能關，關掉的燈不能相鄰，那么，有多少種不同的關燈方法？

解析

這道題的重點是“不相鄰的元素”，即先將題目中沒有要求的元素排序，按照要求將不相鄰的元素插空到已排元素的間隙中．解決此類問題，經常是以“相鄰站位”“相連”“連續”等關鍵詞為線索，采取相應的解題方式．這道題只要讀懂題干就可以明白，從１０盞燈中選擇性地滅掉３盞，而且３盞燈的位置不相鄰，不在兩端，可以將問題轉換成熟悉的數學模型，巧妙解題：用７ 個白球表示７ 盞亮著的燈，用３黑球表示關掉的燈，先將白球排好，在中間６ 個位置插入黑球，則共有排列方法Ｃ３６＝２０種．

點評

遇到此類問題時，教師應明確指出針對相鄰問題和不相鄰問題的解答需要采取不同的解題方式，系統總結解題規律，讓學生開展針對性的練習，知道在一排元素中插入“特殊”元素時，該如何解決問題，使學生形成深刻的記憶．

４ 利用練習，培養應變和糾錯能力

高中數學的知識面較廣，以排列組合為例，學生經常會遇到一些五花八門但是有條件限制的問題，許多問題都富有思考性，對學生的思維能力、邏輯推理能力、解題能力有較高的要求．要想讓學生掌握排列組合知識，教師不僅需要根據數學學科的特點，系統講述理論知識，還要針對學生學習水平，開展大量針對性的練習，通過知識鞏固、查漏補缺培養學生的應變能力和糾錯能力．

例４ 畢業期間，６名學生一起照相，大家排成一排，甲不排頭，乙不排尾，共有多少種排法？

解析

有的學生一看到題，很容易聯想到全排問題和排除法，這樣解題：６ 人全排的方法有Ａ６６種，其中，甲排頭的排法有Ａ５５ 種，與乙排尾的可能一樣多，所以甲不排頭，乙不排尾的排法共有Ａ６６－２Ａ５５種．這道題的思路沒錯，但是，卻疏忽了一個細節：甲排頭，乙排尾的情況有Ａ４４ 種，這種被遺漏了，所以必然會得出錯誤的結果．為此，教師應抓住細節讓學生有針對性地對錯題進行分析，重新解題，培養學生多角度解題的思維和能力，讓學生轉變思路用另一種方法解題：先算出甲不排頭的排法Ａ１５Ａ５５，再去掉甲不排頭但乙排尾的排法Ａ１４Ａ４４，故甲不排頭乙不排尾的排法共有Ａ１５Ａ５５－Ａ１４Ａ４４＝５０４種．

５ 用捆綁法，提升學生解題效率

捆綁法是針對高中數學中處理排列組合類題目所采用的一種特殊解題方法，通常用來解決某些元素相鄰類的問題，將相鄰的元素捆綁到一起看作一個整體，再同其他元素進行排列和組合，不過還需要考慮捆綁整體內各個元素的排列情況．具體來說，在高中數學排列組合教學實踐中，教師可以指導學生采用捆綁法分析和解答排列組合類問題，根據實際要求將在一起的各個小元素捆綁為一個大元素，再基于大元素視角切入，由此輕松地處理排列組合類試題．

例５ 現在有犃，犅，犆，犇，犈這５位同學排隊，要求犃，犅兩位同學必須挨著站在一起，請問一共有幾種排隊方法？

解析

在這一題目中，學生通過對題干內容的閱讀提取關鍵信息，即犃，犅兩位同學必須要排在相鄰的位置，這說明他們兩人不能隨意地同其他同學一起排列，中間不能插入其他同學．這時可采用捆綁法將犃，犅兩位同學捆綁起來看成一個整體，先將這兩人作為一個人，同犆，犇，犈這３位同學進行排列，一共４個元素，由此得到Ａ４４＝２４ 種排列方法，接著，對犃，犅兩人展開內部排列，共存在兩種方法，即為犃在前、犅在后，或犅在前、犃在后，故一共有２４×２＝４８種排隊方法．

排列組合是高中數學的重要內容，也是許多學生較為頭疼的問題．雖然排列組合看似復雜，但解題方法眾多，相對簡單．在排列組合教學中，教師不僅要重視基礎知識講解，還要精講精練，系統講解解題技巧，讓學生把握此類問題的重點，促使學生在遇到排列組合問題時能舉一反三，靈活應變．

（完）