巧構常數列，妙解數列題

林暉

常數列是指數列中各項的值都相等的一類特殊數列，特別地，各項的值非零的常數列既是公差為０的等差數列，又是公比為１ 的等比數列，巧妙實現等差數列與等比數列的和諧統一．在實際數列解題過程中，往往常數列的結構特征不明顯，要借助合理變形與轉化、巧妙構建與處理等，才能選取、構建或配湊出相應的常數列，進而利用常數列的基本性質來解題．

１ 參數求值問題

借助常數列的構建與應用或常數列的判定與識別等，結合等差數列、等比數列的基本性質以及相關的公式等，可以用來解決涉及等差數列的公差、等比數列的公比、數列中的系數等相關的參數求值問題．

例１ 已知數列｛an｝是等差數列，若a１－１，a３－３，a５－５依次構成公比為q的等比數列，則q＝（ ）．

Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２

分析 根據題設條件，直接利用等差數列或等比數列的性質來分析與求解有一定難度，充分挖掘數列中的數據特征，利用等差數列自身的“等距性”，以及兩個等差數列的“相加性”（對應項依次相加后還是等差數列）確定等差數列這一類型，綜合利用其還是等比數列這一特征，構造常數列來進行求解．

解 依題知數列｛an｝是等差數列，則數列｛a２n－１｝也是等差數列，而數列－１，－３，－５ 也構成一個等差數列，則數列a１ －１，a３ －３，a５ －５ 構成一個等差數列，又由于a１－１，a３－３，a５－５依次構成公比為q的等比數列，從而a１－１，a３－３，a５－５是各項非零的常數列，則知q＝１，故選Ｃ．

點評

抓住等差數列與等比數列的基本性質，合理構建兩者之間的統一體———常數列，使得問題朝著更加方便解決的方向發展．在進行數列中的一些參數求值、類型判斷或其他相關應用中，經常利用“各項非零的常數列既是等差數列又是等比數列”這一基本性質，結合常數列的基本性質來解題．

２ 數列運算問題

借助常數列的構建與應用，化一般為特殊，化不規則為規則，在解決一些涉及等差數列或等比數列的運算問題中有奇效，使得數學運算更加快捷簡單，常常應用于一些數列運算中的定值的客觀題中．

例２ 若等比數列｛an｝的各項均為正數，且滿足a５０a５１＋a４９a５２＝２ｅ１０，則ｌｎa１＋ｌｎa２＋…＋ｌｎa１００＝（ ）．

Ａ．１００ Ｂ．２５０ Ｃ．５００ Ｄ．ｌｎ５０＋１

分析 根據題意，解題的常規思維是借助等比數列的性質、對數的運算性質等求解．利用特殊思維介入，抓住題設中的數列關系式進行合理構建常數列，使得數列更加具體直觀，以特殊代替一般進行統一化處理，操作應用與數學運算起來更加簡單快捷．

解 依題意，根據特殊思維，構建常數列———公比為q＝１ 的數列｛an｝，結合條件a５０a５１ ＋a４９a５２ ＝２ｅ１０，可得a５０a５１ ＝ｅ５，所以ｌｎa１ ＋ｌｎa２ ＋ … ＋ｌｎa１００＝１００ｌｎｅ５＝１００×５＝５００，故選Ｃ．

點評

在一些數列客觀題的求解中，特別是涉及數列的相關項的數學運算問題，如果能夠借助特殊思維，合理構建特殊數列———常數列（或與條件相吻合的其他特殊數列等），可以使得問題更加直觀，分析求解起來更加簡潔，往往使得問題簡單統一化，簡化數學運算，優化解題過程．

３ 數列通項問題

借助常數列的構建與應用，可以合理轉化一些比較復雜的數列關系式問題，通過常數列加以合理過渡，使得問題得以巧妙轉化，為數列的通項公式及其相關問題的求解提供條件，從而實現數列通項公式的求解與應用．

例３ 已知數列｛an｝滿足（n－１）an＋１＝nan－１（n∈N*犖 ），且a２ ＝３，則數列｛an｝的通項公式為an＝______．

分析 根據題設條件，常規思維是借助等差中項性質或累加法加以變形與轉化．而抓住題設中的數列遞推關系式，利用數列關系式的恒等變形與轉化，構建數列的通項與項數的比值之差的關系式，進而通過合理轉化構建新數列．

點評

通過數列的遞推關系式或相關信息的轉化與應用，借助常數列的巧妙構建與合理應用，無中生有，創新應用，是數列的類型判斷、數列通項公式的確定等問題中比較常用的一種技巧方法，關鍵在于合理變形數列的遞推關系式，巧妙構建一個全新的常數列加以過渡或轉化．

４ 數列求和問題

借助常數列的構建與應用，特別是整體思維方式的介入，合理將一些相關的不規則數列的求和及其相關應用問題轉化為常見的常數列、等差數列或等比數列問題，使數列求和更加直觀有效，起到非常良好的效果．

例４ 已知數列｛an｝，a１＝１，a２＝２，且滿足an＋２＝an＋２×（－１）n（n∈N*?），則該數列｛an｝的前１００ 項和S１００ 為______．

分析 根據數列的遞推關系式，借助數列中的奇偶項加以分類討論，過程比較繁雜．而結合題設中的遞推關系進行恒等變換，利用數列中連續四項之間的代數關系，合理構建常數列，結合新數列的整體思維來進行合理的數列求和與運算．特別地，創新的常數列的構建，使得問題變得更加具體，使分析與處理問題更加簡單快捷．

點評

合理把握題設條件與所求結論之間的聯系，充分構建“橋梁”，抓住數列問題的實質與遞推關系式的巧妙變換，在此基礎上進行整體轉化，巧妙合理同構相應的常數列，通過特殊思維、分組思維與整體思維等來進行變形與應用，為數列求和問題的破解提供便捷．

在實際數列解題過程中，充分剖析問題內涵與實質，綜合巧妙的數學思維、敏銳的數學視角等，通過巧妙選取、巧妙構建、合理配湊等技巧方法，挖掘并構造對應的常數列，結合常數列的概念、性質等知識，有效回避靈活的數列性質應用與繁雜的數列運算等，利用合理的邏輯推理以及正確的數學運算等來分析與應用，簡化題設條件，優化解題過程，實現問題的有效破解．

（完）