基于終端滑模的六旋翼無人機(jī)有限時(shí)間魯棒控制

李 濤

(鄭州旅游職業(yè)學(xué)院信息工程學(xué)院 河南 鄭州 451464)

0 引 言

六旋翼無人機(jī)作為一種小型飛行器,具有結(jié)構(gòu)簡單、任務(wù)效率高和可靠性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在農(nóng)業(yè)、軍事和航拍等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。六旋翼無人機(jī)完全依賴飛行控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定自主飛行,控制系統(tǒng)的控制效果決定著無人機(jī)的飛行性能。當(dāng)前針對飛行控制系統(tǒng)的研究主要建立在無人機(jī)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,但是建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況存在著一定的偏差,因此在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)必須考慮外部動態(tài)的影響[4-5]。由于六旋翼無人機(jī)的質(zhì)量較小,大氣中的不穩(wěn)定氣流會在一定程度上影響運(yùn)動和姿態(tài)的穩(wěn)定,降低六旋翼的飛行性能[6-9]。

文獻(xiàn)[10]針對四旋翼無人機(jī)魯棒自適應(yīng)飛行問題,設(shè)計(jì)了指數(shù)收斂干擾觀測器來估計(jì)和補(bǔ)償未知干擾,提出了一種魯棒控制方法,能夠確保四旋翼UAV安全穩(wěn)定飛行;文獻(xiàn)[11]針對飛行環(huán)境不斷變化的四旋翼無人機(jī)軌跡跟蹤問題,提出了一種基于區(qū)間矩陣的魯棒跟蹤控制策略,但對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件比較嚴(yán)格;文獻(xiàn)[12]針對帶有參數(shù)不確定性和外界干擾的四旋翼無人機(jī),利用Super-twisting算法設(shè)計(jì)了滑模干擾觀測器對外部擾動進(jìn)行觀測和補(bǔ)償,提出了一種魯棒控制方法,但是不能準(zhǔn)確估計(jì)不確定參數(shù);文獻(xiàn)[13]針對帶有內(nèi)外擾動、線速度未知等不確定性影響的四旋翼無人機(jī)軌跡追蹤問題,通過引入擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)不確定因素進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)并給予補(bǔ)償,提出一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的魯棒滑模控制方法,仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。為此,本文利用終端滑模自適應(yīng)律和模糊系統(tǒng)來估計(jì)和補(bǔ)償復(fù)合干擾,設(shè)計(jì)終端滑模魯棒控制方法,最終實(shí)現(xiàn)六旋翼無人機(jī)的有限時(shí)間全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

1 模型描述

六旋翼無人機(jī)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 六旋翼結(jié)構(gòu)

六旋翼無人機(jī)的運(yùn)動模型[14-15]可以描述為:

(1)

式中:χ=[x,y,z]T表示UAV的位置坐標(biāo);ν=[νx,νy,νz]T表示UAV的速度;g是重力加速度;e=[0,0,1]T;dν表示UAV運(yùn)動模型中的模型誤差和外界干擾等復(fù)合干擾。F=[Fx,Fy,Fz]T表達(dá)式為:

(2)

六旋翼無人機(jī)的姿態(tài)模型可以描述為:

(3)

式中:η=[φ,θ,ψ]T;ω=[p,q,r]T表示橫滾、俯仰和航向角速度;J=diag{Jx,Jy,Jz}表示轉(zhuǎn)動慣量;f=-J-1(ω×Jω);τ=[τφ,τθ,τψ]T表示旋翼氣動力矩;dω表示UAV姿態(tài)模型中的復(fù)合干擾;R是UAV的系數(shù)矩陣。R表達(dá)式為:

(4)

本文的控制目標(biāo)是六旋翼無人機(jī)的運(yùn)動模型和姿態(tài)模型,設(shè)計(jì)終端滑模魯棒控制律,使UAV的位置和姿態(tài)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0。由文獻(xiàn)[16]可以得到以下引理:

(5)

2 終端滑模魯棒控制律設(shè)計(jì)

針對六旋翼無人機(jī)的運(yùn)動模型和姿態(tài)模型設(shè)計(jì)基于終端滑模的魯棒控制律,控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

2.1 運(yùn)動模型魯棒控制律設(shè)計(jì)

定義六旋翼無人機(jī)的位置誤差為:

(6)

(7)

針對六旋翼無人機(jī)的運(yùn)動模型,設(shè)計(jì)如下終端滑模面,來改善控制性能:

(8)

基于式(8),設(shè)計(jì)運(yùn)動回路的魯棒控制律如下:

(9)

(10)

式中:γ1>0。考慮如下Lyapunov函數(shù):

(11)

(12)

將式(9)和式(10)代入式(12),化簡可得:

(13)

由于雙曲正切函數(shù)滿足下列性質(zhì):

(14)

則可以得到:

(15)

將式(15)代入式(13)可以得到:

(16)

式中:k1min是矩陣k1元素的最小值。進(jìn)一步化簡得:

(17)

式中:β=(p/q+1)/2。

2.2 姿態(tài)指令解算

由式(2)可得,六旋翼無人機(jī)的6個(gè)旋翼轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的合力T為:

(18)

進(jìn)一步可以解算得到,UAV的橫滾角指令φd和俯仰角指令θd為:

(19)

式中:ψc是輸入的航向角指令,則ηd=[φd,θd,ψd]T為姿態(tài)指令。

2.3 姿態(tài)魯棒控制律

定義姿態(tài)誤差為:

(20)

(21)

針對UAV的姿態(tài)模型,設(shè)計(jì)如下終端滑模面:

(22)

下面利用終端滑模模糊系統(tǒng)在線逼近復(fù)合干擾dω,則可以得到:

(23)

(24)

式中:γ2>0,a2>0。在式(22)、式(23)和式(24)的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)UAV姿態(tài)模型的魯棒控制律為:

(25)

式中:k2是正定對角矩陣。

六旋翼無人機(jī)的合力T、氣動力矩τ=[τφ,τθ,τψ]T與旋翼轉(zhuǎn)速滿足下列關(guān)系:

(26)

式中:a是六旋翼無人機(jī)的反扭矩系數(shù);α、l1、l2和l3的具體物理意義如圖1所示;M為六旋翼無人機(jī)的控制分配矩陣。則進(jìn)一步可以得到:

(27)

式中:M*表示矩陣M的偽逆矩陣。

2.4 穩(wěn)定性證明

定理1針對提出的六旋翼無人機(jī)數(shù)學(xué)模型,設(shè)計(jì)式(8)和式(22),并提出式(9)、式(25)、式(10)、式(24),能夠確保六旋翼無人機(jī)的位置和姿態(tài)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0,保證UAV全局漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明:考慮如下Lyapunov函數(shù):

(28)

(29)

將式(25)以及式(24)代入并化簡得:

(30)

式中:k2min是矩陣k2的最小元素。由于雙曲正切函數(shù)滿足下列性質(zhì):

(31)

則可以得到:

(32)

將式(17)和式(34)代入式(32),可得到:

-nVβ

(33)

式中:n的表達(dá)式為:

(34)

(35)

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的終端滑模魯棒控制方法的有效性,采用MATLAB進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并與文獻(xiàn)[17]所設(shè)計(jì)的傳統(tǒng)滑模控制方法進(jìn)行對比。

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)

六旋翼無人機(jī)的機(jī)體結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 機(jī)體結(jié)構(gòu)參數(shù)

整個(gè)仿真時(shí)長設(shè)置為20 s,六旋翼無人機(jī)的初始狀態(tài)為:

χ0=[0,0,0]T;ν0=[0,0,0]T

η0=[0,0,0]T;ω0=[0,0,0]T

設(shè)定六旋翼無人機(jī)的指令信號為:

χd=[(e0.5t+sint)m,(1.2t+cost)m,

(e0.12t-sin1.5t)m]T

ψd=(0.6t-sin1.2t)

設(shè)定復(fù)合干擾為:

dν=[ln(t+1)+0.2sint,ln(t+2)-0.3sint,

ln(t+0.1)-0.1sint]T

dω=[ln(1+2t)+e0.1t,e0.12t-ln(1+t),ln(0.1+st)]T

終端滑模魯棒控制律參數(shù)如表2所示。

表2 終端滑模魯棒控制律參數(shù)

3.2 運(yùn)動模型對比仿真

六旋翼無人機(jī)的位置仿真結(jié)果如圖3-圖5所示。其中:實(shí)線代表指令信號;短虛線代表文獻(xiàn)[17]的仿真結(jié)果;長虛線代表本文方法仿真結(jié)果。

(a) x跟蹤曲線

(b) ex曲線圖3 位置x跟蹤曲線

(a) y跟蹤曲線

(b) ey曲線圖4 位置y跟蹤曲線

(a) z跟蹤曲線

(b) ez曲線圖5 位置z跟蹤曲線

從仿真結(jié)果圖可知:采用文獻(xiàn)[17]中的傳統(tǒng)滑模控制方法能使UAV的坐標(biāo)x、y和z基本跟蹤指令信號,但是在復(fù)合擾動的影響下,跟蹤曲線會在指令信號附近大幅劇烈振蕩,跟蹤誤差達(dá)到了3 m;而在本文設(shè)計(jì)的基于終端滑模的六旋翼無人機(jī)有限時(shí)間魯棒控制方法的作用下,六旋翼無人機(jī)的位置x、y和z可以在0.1 s內(nèi)穩(wěn)定跟蹤指令信號,有效補(bǔ)償復(fù)合干擾的影響,最大跟蹤誤差僅為0.1 m。

六旋翼無人機(jī)運(yùn)動模型的復(fù)合干擾仿真結(jié)果如圖6所示。

從仿真結(jié)果圖可知:所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律能夠在0.1 s內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)運(yùn)動模型復(fù)合干擾,估計(jì)誤差最大僅為0.2 m/s,快速性和準(zhǔn)確性均較好。

3.3 姿態(tài)模型對比仿真

六旋翼無人機(jī)的姿態(tài)仿真結(jié)果如圖6-圖9所示。

(a) dνx仿真曲線

(b) dνy仿真曲線

(c) dνz仿真曲線圖6 運(yùn)動模型擾動估計(jì)曲線

(a) φ仿真曲線

(b) eφ仿真曲線圖7 橫滾角φ仿真結(jié)果

(a) θ仿真曲線

(b) eθ仿真曲線圖8 俯仰角θ仿真結(jié)果

(a) ψ仿真曲線

(b) eψ仿真曲線圖9 航向角ψ仿真結(jié)果

從仿真圖可知:采用文獻(xiàn)[17]的滑模控制方法,可使六旋翼無人機(jī)的姿態(tài)角φ、θ和ψ能夠基本跟蹤指令信號,但是在復(fù)合干擾的影響下,跟蹤曲線會在指令信號附近大幅劇烈振蕩,跟蹤誤差達(dá)到了4°;而在本文設(shè)計(jì)的基于終端滑模的六旋翼無人機(jī)有限時(shí)間魯棒控制方法的作用下,姿態(tài)角φ、θ和ψ能夠在0.1 s內(nèi)穩(wěn)定跟蹤指令信號,并且在有效復(fù)合干擾的影響下,最大跟蹤誤差也僅為0.3°。

六旋翼無人機(jī)姿態(tài)模型的復(fù)合干擾仿真結(jié)果如圖10所示。

(a) dp仿真曲線

(b) dq仿真曲線

從仿真圖可知:本文設(shè)計(jì)的模糊系統(tǒng)能夠在0.1 s內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)姿態(tài)模型復(fù)合干擾,最大估計(jì)誤差僅為0.2 (°)/s2,快速性和準(zhǔn)確性也均較好。

4 結(jié) 語

針對六旋翼無人機(jī)的運(yùn)動和姿態(tài)控制精度問題,設(shè)計(jì)一種終端滑模魯棒控制方法,根據(jù)MATLAB對比仿真實(shí)驗(yàn)表明:

(1) 設(shè)計(jì)的終端滑模魯棒控制方法能夠確保六旋無人機(jī)在0.1 s內(nèi)穩(wěn)定、準(zhǔn)確跟蹤指令信號,位置和姿態(tài)的最大跟蹤誤差分別為0.1 m和0.3°,具有很好的快速性和準(zhǔn)確性。

(2) 設(shè)計(jì)的終端滑模自適應(yīng)律能夠有效補(bǔ)償運(yùn)動模型復(fù)合干擾的影響,最大估計(jì)誤差為0.2 m/s,有效提高了控制方法的魯棒性。

(3) 設(shè)計(jì)的終端滑模模糊系統(tǒng)能夠有效補(bǔ)償姿態(tài)模型復(fù)合干擾的影響,最大估計(jì)誤差僅為0.2 (°)/s2,有效提高了控制方法的魯棒性。