一類位置不變的極值指數估計量①

蒲鈺瑤， 陳守全

西南大學 數學與統計學院，重慶 400715

其中: γ>0 ,k0是小于k的正整數.得到了此位置不變極值估計量的弱相合性和漸近正態性,并根據其漸近展開式得到k0的最優選擇．

設{Xn,n≥1}是一列獨立同分布的隨機變量序列,其共同的分布函數為F(x),X1,n≤…≤Xn,n為X1,…,Xn的順序統計量.如果F屬于極值吸引場[1]:

(1)

(2)

對于極值指數的研究,當γ>0 時,文獻[3]最早提出了著名的Hill估計量.也有一些基于不同思想的估計量: 將樣本分塊,在每個塊中取兩個最大值的比率[4-6],然后將線性函數f(x)=x而不是對數函數應用于這些比率.文獻[7]將函數族fr(t)引入到次序統計量中,得到估計量

(3)

其中

(4)

借助文獻[8]得到廣義Hill估計量

(5)

(6)

本文在二階條件[13]下證明其漸近性質．

1 主要結果

在下文中,設F∈D(Gγ) ,γ>0,假設存在一個函數A(t)>0 ,有如下二階條件成立

(7)

由條件(2)可得

(8)

其中,對任意的中間序列k,滿足

(9)

(10)

其中

(11)

(12)

(13)

(14)

定理3假設二階條件(7)成立,A(t)～ctρ,其中ρ<0 ,c≠0,令

(ii) 如果γ≥-ρ,

其中

(15)

2 定理的證明

(16)

此外,對于序列{Yn,n≥1},有

(17)

定理1的證明

最后一步由大數定律可得.又因為

所以,

定理2的證明首先定義

(18)

利用泰勒展式,有

成立.因此可得

由此可得

那么

定理3的證明類似文獻[15]中的定理2.3可得．