三元變系數Euler函數非線性方程的正整數解①

戴妍百， 高麗

延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000

對于任意正整數n,歐拉函數φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數的個數.歐拉函數在數論中有著重要的作用,有關歐拉函數的性質以及歐拉方程引起了很多學者的研究興趣[1-3]．

近年來,文獻[1,4-12]分別討論了當k=2,3,4,5,6,7,8,9,11,12時,歐拉方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的可解性問題. 對于二元變系數歐拉函數方程φ(xy)=mφ(x)+nφ(y),文獻[13]討論了當m=5,n=7時的可解性問題,文獻[14]討論了當m=7,n=9時的可解性問題.文獻[15-17]分別討論了當k=3,4,5時,三元歐拉函數方程φ(xyz)=k(φ(x)+φ(y)+φ(z))的全部正整數解.對于含常數的二元變系數方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)+k,文獻[18-19]利用整數的分解性質討論了(k1,k2,k)=(7,8,16),(4,7,28)時的可解性問題.文獻[20]討論了k=6,28時三元變系數方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-k的可解性問題.本文利用歐拉函數的性質與初等數論方法,討論并證明了

φ(xyz)=aφ(x)+bφ(y)+cφ(z)-m

當(a,b,c)=(2,3,4)且m=8時正整數解的情況,并給出了該歐拉方程的全部正整數解．

引理1[21](φ(m)的乘積公式) 對m>1,我們有

其中,p是m的素因數．

引理 2[21]歐拉函數φ(m)具有下列性質:

(ii) 當(m,n)=1時,φ(mn)=φ(m)φ(n);

(iii) 當m≥3時,φ(m)必為偶數．

定理1歐拉方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-8一共有32組正整數解,分別為:

(x,y,z)=(1,7,9),(1,7,18),(1,9,7),(1,9,14),(1,14,9),(1,18,7),(2,7,9),(2,9,7),(2,12,4),(1,11,8),(1,11,10),(2,11,5),(3,12,1),(3,5,4),(4,5,3),(1,4,2),(1,6,2),(2,3,2),(2,4,1),(2,6,1),(3,3,1),(3,3,2),(3,6,1),(6,3,1),(1,4,4),(1,4,6),(2,3,4),(2,4,3),(5,8,1),(5,12,1),(8,5,1),(12,5,1)．

證方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-8有正整數解的必要條件是

(φ(x)-3)(φ(y)-2)≤2

事實上,對于歐拉函數方程

φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-8

(1)

利用歐拉函數的性質得

由引理2的(i)可知

對(1)式進行化簡,可得

故有

(φ(x)-3)(φ(y)-2)≤2

(2)

由上述過程可知,方程(1)有解時,(2)式必然成立.故對二元一次不等式(2)進行討論:

當(φ(x)-3)(φ(y)-2)<0時,有φ(x)=1,2,φ(y)≥4; 或φ(x)≥4,φ(y)=1．

當(φ(x)-3)(φ(y)-2)=0時,有φ(x)=3或φ(y)=2.由引理2的(iii)知φ(x)=3不存在,舍去．

當(φ(x)-3)(φ(y)-2)=1時,有φ(x)=4,φ(y)=3; 或φ(x)=2,φ(y)=1.由引理2的(iii)知φ(x)=4,φ(y)=3不存在,舍去．

當(φ(x)-3)(φ(y)-2)=2時,有φ(x)=5,φ(y)=3; 或φ(x)=4,φ(y)=4; 或φ(x)=1,φ(y)=1. 由引理2的(iii)知φ(x)=5,φ(y)=3不存在,舍去．

綜上所述,可得方程(1)有解的7種情況,下面進行分類討論給出方程的解．

情況1當φ(x)=1,φ(y)≥4時,代入方程(1)進行化簡,得

(φ(y)-4)(φ(z)-3)≤6

情況1.1 當φ(y)=4時,方程(1)為φ(xyz)=4φ(z)+6．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=10,即xyz=11,12,又因為x=z=1,2,y=5,8,10,12,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=14,這樣的x,y,z不存在,因此方程(1)無解．

當φ(z)=4時,φ(xyz)=22,即xyz=23,46,又因為x=1,2,y=z=5,8,10,12,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=6時,φ(xyz)=30,即xyz=31,62,又因為x=1,2,y=5,8,10,12,z=7,9,14,18,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=8時,φ(xyz)=38,即這樣的x,y,z不存在,因此方程(1)無解．

當φ(z)≥10時,φ(xyz)=4φ(z)+6,將x=1,2,y=5,8,10,12代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)=4φ(z)+6且φ(z)≥10的x,y,z,因此方程(1)無解．

情況1.2 當φ(y)=6時,此時φ(z)-3≤3,即φ(z)=1,2,4,6．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=16,即xyz=17,32,34,40,48,60,又因為x=z=1,2,y=7,9,14,18,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=20,即xyz=25,33,44,50,66,又因為x=1,2,y=7,9,14,18,z=3,4,6,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=4時,φ(xyz)=28,即xyz=29,58,又因為x=1,2,y=7,9,14,18,z=5,8,10,12,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=6時,φ(xyz)=36,即xyz=37,57,63,74,76,108,114,126,又因為x=1,2,y=z=7,9,14,18,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(1,7,9),(1,7,18),(1,9,7),(1,9,14),(1,14,9),(1,18,7),(2,7,9),(2,9,7)．

情況1.3 當φ(y)=8時,此時φ(z)-3≤1,即φ(z)=1,2,4．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=22,即xyz=23,46,又因為x=z=1,2,y=15,16,20,24,30,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=26,這樣的x,y,z不存在,因此方程(1)無解．

當φ(z)=4時,φ(xyz)=34,這樣的x,y,z不存在,因此方程(1)無解．

情況1.4 當φ(y)=10時,此時φ(z)-3≤1,即φ(z)=1,2,4．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=28,即xyz=29,58,又因為x=z=1,2,y=11,12,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=32,即xyz=51,64,68,80,96,102,120,又因為x=1,2,y=11,12,z=3,4,6,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(2,12,4)．

當φ(z)=4時,φ(xyz)=40,即xyz=41,88,100,110,132,150,又因為x=1,2,y=11,12,z=5,8,10,12,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(1,11,8),(1,11,10),(2,11,5)．

情況1.5 當φ(y)≥12時,此時φ(z)-3≤0,即φ(z)=1,2．

當φ(z)=1時,將x=z=1,2代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)=3φ(y)-2且φ(y)≥12的x,y,z,因此方程(1)無解．

同理當φ(z)=2時,方程(1)無解．

情況2當φ(x)=2,φ(y)≥4時,方程(1)化簡為

(φ(y)-2)(2φ(z)-3)≤2

情況2.1 當φ(y)=4時,此時2φ(z)-3≤1,即φ(z)≤2．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=12,即xyz=13,21,26,28,36,42,又因為x=3,4,6,y=5,8,10,12,z=1,2,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(3,12,1)．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=16,即xyz=17,32,34,40,48,60,又因為x=z=3,4,6,y=5,8,10,12,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(3,5,4),(4,5,3);

情況2.2 當φ(y)≥6時,此時2φ(z)-3≤0,即φ(z)=1．

當φ(z)=1時,將z=1,2,x=3,4,6代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)=3φ(y)且φ(y)≥6的x,y,z,因此方程(1)無解．

情況3當φ(x)≥4,φ(y)=1時,方程(1)化簡為

(φ(x)-4)(φ(z)-2)≤3

情況3.1 當φ(x)=4時,此時方程(1)為φ(xyz)=4φ(z)+3．

由此得φ(xyz)為奇數,由引理2的(iii)可知方程(1)無解．

情況3.2 當φ(x)=6時,此時φ(z)-2≤1,即φ(z)=1,2．

當φ(z)=1時,φ(xyz)=11,因φ(xyz)為奇數,由引理2的(iii)可知方程(1)無解．

當φ(z)=2時,φ(xyz)=15,因φ(xyz)為奇數,由引理2的(iii)可知方程(1)無解．

情況3.3 當φ(x)≥8時,此時φ(z)-2≤0,即φ(z)=1,2．

當φ(z)=1時,將y=z=1,2代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)=2φ(x)-1且φ(x)≥8的x,y,z,因此方程(1)無解．

同理當φ(z)=2時,方程(1)無解．

情況4當φ(y)=2時,方程(1)化簡為

(φ(x)-2)(φ(z)-1)≤1

情況4.1 當φ(z)=1時,方程(1)為φ(xyz)=2φ(x)+2．

當φ(x)=1時,φ(xyz)=4,即xyz=5,8,10,12,又因為x=z=1,2,y=3,4,6,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(1,4,2),(1,6,2),(2,3,2),(2,4,1),(2,6,1)．

當φ(x)=2時,φ(xyz)=6,即xyz=7,9,14,18,又因為x=y=3,4,6,z=1,2,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(3,3,1),(3,3,2),(3,6,1),(6,3,1)．

當φ(x)=4時,φ(xyz)=10,即xyz=11,12,又因為x=5,8,10,12,y=3,4,6,z=1,2,經檢驗,此時方程(1)無解．

當φ(x)=6時,φ(xyz)=14,這樣的x,y,z不存在,因此方程(1)無解．

當φ(x)≥8時,φ(xyz)=2φ(x)+2,將y=3,4,6,z=1,2代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)= 2φ(x)+2且φ(x)≥8的x,y,z,因此方程(1)無解．

情況4.2 當φ(z)=2時,此時φ(x)-2≤1,即φ(x)=1,2．

當φ(x)=1時,φ(xyz)=8,即xyz=15,16,20,24,30,又因為x=1,2,y=z=3,4,6,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(1,4,4),(1,4,6),(2,3,4),(2,4,3)．

當φ(x)=2時,φ(xyz)=10,即xyz=11,12,又因為x=y=z=3,4,6,經檢驗,此時方程(1)無解．

情況4.3 當φ(z)≥4時,(φ(x)-2)≤0,即φ(x)=1,2．

當φ(x)=1時,將x=1,2,y=3,4,6代入方程(1),經檢驗,不存在滿足φ(xyz)=4φ(z)且φ(z)≥4的x,y,z,因此方程(1)無解．

同理當φ(x)=2時,方程(1)無解．

情況5當φ(x)=2,φ(y)=1時,代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)-1,因φ(xyz)為奇數,由引理2的(iii)可知方程(1)無解．

情況6當φ(x)=4,φ(y)=4時,代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)+12≥16φ(z),即φ(z)=1,此時φ(xyz)=16,即xyz=17,32,34,40,48,60,又因為x=y=5,8,10,12,z=1,2,經檢驗,此時方程(1)有解,為(x,y,z)=(5,8,1),(5,12,1),(8,5,1),(12,5,1)．

情況7當φ(x)=1,φ(y)=1時,代入方程(1)可得φ(xyz)=4φ(z)-3,因φ(xyz)為奇數,由引理2的(iii)可知方程(1)無解．

綜上所述,可得方程φ(xyz)=2φ(x)+3φ(y)+4φ(z)-8一共有32組正整數解．