中職階段數學中Geogebra應用的一些案例分析

摘?要：本文旨在分析中職階段數學中一些Geogebra應用教學案例，探究Geogebra在中職階段數學應用中的特色及其優勢，思考如何在中職學習階段數學中更好地使用。

關鍵詞：中職數學；Geogebra；教學案例；函數向量；立體幾何

本文重點探討的重點是Geogebra在中職階段應用教學中的案例及其分析。與傳統的教學手段進行對比，Geogebra軟件在代數和幾何上展現了強大的教學功能，在基礎教育中的教學中有很強的應用能力。通過數形結合，學生可以直觀地了解數學知識，并且在數學學習中激發中職學生學習數學的興趣，在Geogebra的幫助下，可以更有效率地進行學習。

1?中職數學教學常用軟件介紹

在目前的數學教育中，比較常見的數學輔助軟件有mathtype、幾何畫板、mathmatica。其中mathtype用在平時編輯數學符號，它缺乏幾何作圖能力，有著不小的弊端。幾何畫板可以進行作圖功能，但是在計算代數上相對有所缺失。mathmatica功能與Geogebra有些相似，但是操作系統過于復雜。Geogebra另一個最大的優勢就是軟件版權是免費的。

2?Geogebra軟件介紹

Geogebra是一款結合代數、幾何和微積分的動態數學軟件，基于Geogebra軟件在代數和幾何上的強大功能，其在基礎教育的教學中有很強的應用能力。

Geogebra軟件特點如下：

*可免費用于學習、教學和考評。

*功能強大、使用簡單、交互性強。

*支持多種語言。

*以趣味的方式真正觀察和體驗數學和科學。

*可適用于各種課程或項目。

*在世界上有數百萬人使用。

3?運用Geogebra軟件教學案例

由于Geogebra軟件的優勢，必然有了讓我們利用它上課的可能，這里我們提供一些本校老師在上課時，利用Geogebra軟件的一些案例。

3.1?數形的完美應用——向量

Geogebra第三欄中專門有一“向量”圖標，通過這一強大功能，為學生建立起向量的模型及其簡單應用。

3.1.1?課本7.1平面向量的概念

Geogebra在本節課中的應用：Geogebra第三欄中專門有一個“向量”圖標，通過Geogebra，我們可以很簡單地用圖標畫多條向量，并且進行簡單的區分，不同的向量之間通過什么進行區分？左圖中的向量都是不相同的向量，利用軟件的直觀性，可以相對簡單地體現向量的定義：有方向、有大小的量。通過度量向量長度展現向量的模。

隨后可以利用Geogebra軟件中的“向量”圖標建立相等的量（圖1），再次體現向量的大小和方向，即引出相反向量。強調相等及相反向量的共同點——大小（模）相同。

在介紹平行向量和向量共線特點時，可以通過建立平行線，通過平移功能直觀體現出平行，在通過向量確定端點的前提下，拉動終點，進行觀察向量特征，得出平行向量只和方向有關，和大小無關的特點。

Geogebra在本節課中的應用思考：在向量概念一節課中，利用Geogebra充分體現了數與形的結合，并且還有著信息化教學中的精準，保證了數學的嚴謹性的同時，方便學生形成向量概念，顯著提高了教學的效率。

3.1.2?課本7.2向量的線性運算——加減運算

Geogebra在本節課中的應用：在向量的加法、減法運算中，我們要區分平行向量和非平行向量。在我校休閑體育專業中，曾經利用Geogebra演示了高爾夫比賽中的過程，體現了向量的加法特征的同時，彰顯出向量在休閑體育專業中的應用。能夠理解向量運算的本質，引入合理擊球的概念、和向量——擊球點到球洞、加向量——第一次擊球和第二次擊球，通過用Geogebra可以很直觀描述出兩個向量的和運算本質，如圖1兩種情況：平行的和向量：u→+v→=w→，不平行的和向量：y=x-12。通過擊球建模向量配合Geogebra的圖像展示向量的和計算。

學生對于認識圖形是一種直觀認識，而同樣的圖形，我們可以通過不同對應的變式引出減法的特征。如圖2和圖3，教師可以這樣提問，觀察左邊的圖形向量w（c）是正確的進洞軌跡，向量u（a）是第一次擊球，問如何表示出第二次擊球向量v（b）。對于學生而言，向量v是很容易出現概念的，而可以很容易讓休體班的學生自己歸納出向量v是作為差向量出現的，v→=w→-u→/b→=c→-a→。在試著擦去另一個向量u（a），可以讓學生歸納出另一個向量關系。最后在總結和向量和差向量關系的時候，利用Geogebra很容易由v→+u→=w→推出另兩個v→=w→-u→和u→=w→-v→，得到被減向量和和向量之間關系。在建立了向量思維模型后，引入代數知識就相對比較簡單了，達到了由形到數的轉變。

Geogebra在本節課中的應用思考：向量加減的計算分為數的運算和幾何意義。而難度較大的是幾何意義，而Geogebra可以方便形象地進行教學和幫助學生建模，而在數的運算和單位向量的求解上更是便捷和準確。缺點就是利用了Geogebra后，運算難度降低，學生在思維上會產生一定的惰性。

球員比賽的擊球路線，展示出擊球及其軌跡并利用Geogebra用向量模擬。

3.2?圖形中的美麗——立體幾何

可以這么說，立體幾何才是我們教師利用Geogebra的主場。本章節重難點是在認識棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體的結構特征后，引導學生運用這些特征描述實際中簡單物體的結構，從而使學生把學習的眼光從課堂延伸到更廣闊的生活實際中去。可以利用Geogebra完成圖形的建立，確定圖形的大致結構尋找出對應的立體幾何。在這里我們以我校陸老師在開設的一節三視圖學習的公開課作為案例進行探討和分析，如圖4。

Geogebra在本節課中的應用：美術設計班的同學在設計亭子時遇到了困擾，利用數學三視圖知識，結合Geogebra軟件進行輔助指導完善學生作品。

在本節課中學生首先分組完成了通過收集亭子素材——素描亭子——Geogebra制作亭子，讓亭子能夠在電腦中具現出來。在這一過程中，學生在原有相對抽象的藝術形態素描里對亭子進行了進一步整理，在制作過程中雖然也有著很多不足，但是在互相幫助和指導中，學生明顯對自己設計的亭子有了更多的了解。

回顧設計要求，再通過改變三視圖的長、寬、高，利用Geogebra所作三觀圖一一對應，確保設計合理和達到標準。進一步修改亭子中占地面積——俯視圖、可容納休憩的人數對應椅子的坐寬——左視圖、亭子的合理高度——主視圖。學生的專業知識和問題充分結合了Geogebra的強大功能，利用數學知識處理實際問題。

Geogebra在本節課中的應用思考：通過Geogebra展示改善了教學內容的呈現方式，在3D繪圖區，能夠把立體幾何圖形完整、360度無死角地體現出來，讓學生對于簡單組合體有了更加直觀的認識，并且可以通過建模后，處理一些比較簡單的數學問題。

在整個立體幾何章節中，Geogebra完全可以大展拳腳。Geogebra在畫棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球及其簡單組合體方面有著其獨特性。首先，Geogebra在畫立體幾何圖形時，有著多元化的特征，可以通過做底面直接拉成一個棱柱，同樣也可以通過確定幾個點分別確定底面和高制作棱柱。在作圖過程中方法的多樣性，讓學生有多種選擇之余，可以進一步了解圖形的結構特征并反饋到作圖過程中。其次，Geogebra作圖能給學生和教學帶來無比的便捷性，與手繪作圖相比，速度有了明顯提高。最后，Geogebra作圖基于程序的特征有著百分之百的正確性。

3.3?數學的基石——函數

可能有人會很奇怪，為什么會把函數放在最后？因為函數是數學的基石，沒有函數數學的骨架就沒了。一個合格的數學輔助教學軟件，函數可以說是必不可少的一部分，但是也是最能體現差距的一部分。讓我們來了解一下Geogebra在中職教學中的應用。

Geogebra在課本3.3簡單冪函數這節課中的應用：

本節課是在讓學生預習了冪函數定義的前提下進行的，觀察冪函數y=xa（-5

最后利用Geogebra再簡單介紹y=x12、y=x-12的性質，幫助學生做一個簡單補充。

課后作業要求每一個學生制作符合4種情況的Geogebra冪函數圖像。

Geogebra在本節課中的應用思考：本節課，學生在繪制過程中利用Geogebra的快速呈現函數圖像并且易于操作的特點，讓學生在自己動手的前提下，充分感悟幾個簡單冪函數的性質，并且加深理解。

在函數教學利用Geogebra進行教學中，有如下幾點全面性。

3.3.1?內容全面性

中職階段的函數簡單冪函數、指數函數、對數函數和三角函數，初中階段的正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數，都能夠在Geogebra上表示出來，通過軟件能夠簡單明了地體現出函數圖形和函數特征。Geogebra是學生構建模型的最好方法。

其中冪函數是最多變的函數，在實際教學中，我們完全可以通過滑動條改變指數，體現出不同冪函數的特征，幫助學生學習和歸納。

3.3.2?性質的全面性

在中職階段，學生學習函數的基本性質有定義域、最值、單調性、奇偶性和周期性。Geogebra通過讓函數在繪圖區的呈現，直觀給學生講解不同函數的不同性質、特點，為學生總結規律，進行建模，其中Geogebra極值更是一步到位，幫助學生找到對應最值。在教授三角函數中，有著極大的教學價值。

3.3.3?應用的全面性

在函數解答題中，學生最難的就是建立準確的函數模型，而Geogebra的點集能夠很好地幫助觀察點的分布特點，思考對應函數特征，形成自己的模型。而一些基本的題目用Geogebra更是一目了然地得到結果。

Geogebra是一個結合幾何、代數與微積分的動態數學軟件，在各個年齡層的教學中都有著極大的作用。職業教育中數學往往是學生們最感到無力的一門，但是通過Geogebra這種合理的信息化手段，把復雜變得簡單，把抽象變得具現，把死板變得生動。

參考文獻：

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［2］張程艷.應用GeoGebra開展數學探究活動的教學實踐［J］.中學數學，2022（13）：9092.

［3］張平.GeoGebra軟件在初中數學信息化教學中的應用策略［J］.新課程研究，2022（21）：108110.

作者簡介：趙誼陽（1987—?），男，漢族，上海人，學士，中級，研究方向：中職數學教育信息化應用。