基于面磁矩分布的潛艇磁場計算

劉 輝，鐘 煬，吳 桐，趙 昊

(1.昆明船舶設(shè)備研究試驗中心, 云南 昆明 650001；2.中國人民解放軍92485 部隊, 遼寧 大連 116000)

0 引 言

由鋼鐵材料制造而成的潛艇在地磁場中很容易被磁化，進而產(chǎn)生感應(yīng)磁場，由于潛艇的鐵磁體量較大，其出現(xiàn)會造成周圍較大范圍的地磁場畸變，產(chǎn)生磁異常效應(yīng)[1-2]。隨著弱磁探測技術(shù)的發(fā)展及其在航空平臺上的成熟應(yīng)用，潛艇磁場已成為反潛探測的重要信息源，潛艇磁場的計算對評估潛艇磁性狀態(tài)、預(yù)報磁暴露概率、支撐反潛磁異探測等都有重要意義。

磁偶極子模型最常見的磁場計算方法，是指由位于目標(biāo)中心的單個磁偶極子來描述目標(biāo)外部磁場的強度分布特性，該方法在潛艇或其他鐵磁物磁場的估算中被廣泛使用[3-6]，在此基礎(chǔ)上，很多研究對潛艇或類似鐵磁目標(biāo)的磁場模型進行了進一步的改進[7-12]。劉輝[7]在此基礎(chǔ)上提出了同點的三軸磁偶極子數(shù)學(xué)解析模型，并明確了地磁感應(yīng)下磁偶極矩的估算方法，能夠根據(jù)地磁場值、潛艇尺寸及航向等推算得到潛艇磁異常。但總體來說單個磁偶極子模型相對真實潛艇的磁特性而言被嚴(yán)重簡化，導(dǎo)致在計算是存在較大的誤差，該誤差隨著場點與源點距離的變化而不同。張朝陽等[8]指出在探測距離較小（小于2.5 倍鐵磁體尺寸）時，該模型計算誤差過大而不再推薦使用；周家新等[9]改進了該方法，用分布于潛艇內(nèi)部的有限個磁偶極子陣列的疊加來描述潛艇磁狀態(tài)，相比單個磁偶極子模型，在描述潛艇磁場近場特性的準(zhǔn)確度上得到了提升。王金根[10]建立了磁偶極子陣列與橢球體模型的混合模型，提出了近、遠(yuǎn)場均適用的潛艇外空間磁場計算方法，但這種方法依賴于磁偶極子的數(shù)量與每個磁偶極子磁矩的定義值，在實際使用時難以量化。

為解決簡單磁偶極子模型準(zhǔn)確度低，磁偶極子陣列與橢球體混合模型計算復(fù)雜切量化困難的問題，本文提出一種新的潛艇外空間磁場計算方法，并推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型，在計算潛艇磁場隨著位置、距離等的變化規(guī)律時，具有更高的準(zhǔn)確度。

1 單個偶極子模型

磁偶極子是最基本的磁單元，在磁場分析中有著重要的作用，潛艇的磁偶極子模型則是將潛艇對外總磁矩等價于一個位于中心位置的磁偶極子，其磁矩的方向由潛艇的整體磁化方向確定，如圖1 所示。單個磁偶極子在直角坐標(biāo)系下可以分解為共處于原點并沿著x，y，z三個方向上的磁偶極矩mx，my，mz。

圖1 潛艇的單個磁偶極子模型Fig.1 Single magnetic dipole model for submarines

則其在空間產(chǎn)生的磁場分為：

其中N為系數(shù)矩陣：

潛艇磁偶極子模型是大量簡化后的近似模型，不需要復(fù)雜計算，給潛艇磁異常的估算帶來了方便，在對精度要求不高或者遠(yuǎn)距離探測條件下，可用于潛艇磁場的粗略估算。

2 潛艇磁場的橢球殼

2.1 潛艇與橢球殼的等效性

如圖2 所示，潛艇艦橋尺寸相比整個潛艇很小，因此對潛艇感應(yīng)磁場的貢獻微弱，基本可以忽略將潛艇看作旋轉(zhuǎn)橢球體，由于潛艇是中空結(jié)構(gòu)，鐵磁物質(zhì)主要集中在殼體附近，因此等價于旋轉(zhuǎn)橢球殼則更為恰當(dāng)[13-15]。

圖2 潛艇與旋轉(zhuǎn)橢球體對比Fig.2 Submarine vs spheroid

地磁場在潛艇的尺度范圍內(nèi)可以看作是勻強場，其大小與方向在該范圍內(nèi)保持不變，潛艇的感應(yīng)磁場來源于其在地磁場中的磁化，研究證明在均勻外場下，只有旋轉(zhuǎn)橢球體或橢球殼的內(nèi)部磁化是均勻的[16-17]，說明旋轉(zhuǎn)橢球體在均勻外場中的磁化特性能夠被嚴(yán)格計算，這也是要將潛艇等價于旋轉(zhuǎn)橢球殼模型的重要原因。

2.2 橢球殼面磁矩密度

鐵磁學(xué)中磁化強度定義的是磁矩體密度，為方便計算薄殼鐵磁體模型的磁場，提出面磁矩密度的概念定義，即假設(shè)橢球殼被磁化后的磁矩都集中在殼體表面，如圖3 所示，整個潛艇的磁矩是由無數(shù)個分布在殼體上的小磁矩疊加而成，由于潛艇殼體的厚度相比潛艇尺寸來說很小，因此不會引入較大的誤差。

圖4 面磁矩密度定義Fig.4 Surface magnetic moment density definition

考慮到橢球殼在均勻外場中的磁化均勻，說明橢球體表面任意位置上的面磁矩密度均相等，面磁矩密度不隨著其在橢球表面上的位置而變化，則面磁矩密度可以表示為：

橢球體表面積的近似計算為：

3 基于面磁矩分布的潛艇磁場計算模型

如圖5 所示，以旋轉(zhuǎn)橢球面的正中心為坐標(biāo)原點，以長軸為x軸垂直向上和水平面方向為y和z軸，建立直角坐標(biāo)系，該橢球面沿著長軸x方向旋轉(zhuǎn)而成。

圖5 面磁矩元磁場計算示意圖Fig.5 Schematic diagram of magnetic field calculation of surface magnetic moment element

在橢球面上取一微分面元dsi，其位置為=[xi,yi,zi]T，磁矩大小為，且可以看作磁偶極子，則其在位于→rp=[xp,yp,zp]T位置的場點P處產(chǎn)生的磁場為：

其中N為式（2）所表達(dá)的磁偶極子磁場系數(shù)矩陣，且有：

設(shè)面元 dsi在以x軸為對稱軸的柱坐標(biāo)系下的角度為θ，則

根據(jù)式（5）：

根據(jù)式（4），系數(shù)矩陣N中yi和zi可表達(dá)為：

由矢量場的疊加原理可知，整個橢球殼產(chǎn)生的磁場即是所有面微分元產(chǎn)生磁場的積分，最終可得面磁矩分布的橢球殼模型在場點P處產(chǎn)生的磁場為：

在潛艇與旋轉(zhuǎn)橢球殼的近似等效下，建立了磁場潛艇磁場B→與空間測量點位置的關(guān)系，對于確定的潛艇尺寸（長度為2a，寬度為2b）及潛艇總磁矩，能夠通過式（12）計算出潛艇外空間任意位置的磁場三分量及總場值。

4 對比分析

相比單個磁偶極子模型，基于面磁矩分布的潛艇磁場模型計算較為復(fù)雜，但更貼近真實情況。因為一般在用于測量或探測潛艇磁場的探測器有效距離內(nèi)，潛艇100 m 左右的尺寸都不適合看作單個磁偶極子處理，為對比分析2 種計算方式的差異性，假設(shè)潛艇是沿著長軸磁化的，且總磁矩取值為105A·m2。

圖6 分別為測量高度50 m 時，面磁矩分布模型（B1）同單個磁偶極子模型（B2）磁場的x，z方向分量對比，其中水平坐標(biāo)是潛艇模型的x軸向距離，對于x方向磁化的潛艇模型，在其軸線上方磁場的y方向分量始終為0。

圖6 上方50 m 高度上磁場x，z 分量對比Fig.6 Comparison of the x and z components of the magnetic field at a height of 50 m above

圖7 分別為測量高度100 m 時，面磁矩分布模型（B1）同單個磁偶極子模型（B2）磁場的x方向，z方向分量對比。

圖7 上方100 m 高度上磁場x，z 分量對比Fig.7 Comparison of the x and z components of the magnetic field at a height of 100 m above

圖8 分別為測量高度300 m 時，面磁矩分布模型（B1）同單個磁偶極子模型（B2）磁場的x方向、z方向分量對比。

圖8 上方300 m 高度上磁場x，z 分量對比Fig.8 Comparison of the x and z components of the magnetic field at a height of 300 m above

可以看出，隨著測量高度的增加，2 種模型的計算結(jié)果差異在逐步減小，測量高度50 m 時，面磁矩分布模型的計算結(jié)果約只有磁偶極子模型的1/2，但當(dāng)高度增加到300 m 時幾乎完全相同。將二者磁場的最大值隨著距離的變化進行對比，如圖9 所示。

圖9 2 種模型磁場最大值隨著距離的變化Fig.9 The variation of the maximum magnetic field value with distance for the two models

由此可見，在遠(yuǎn)距離探測時（探測距離大于潛艇長度3 倍），可以將潛艇磁場看作單個磁偶極子模型，但在近距離測量、推算、評估潛艇磁性時，若將潛艇模型看作簡單的磁偶極子模型處理，則會引入較大的誤差，距離越近誤差越大，與其他潛艇磁場模型的研究結(jié)論基本吻合[18-19]。

5 結(jié) 語

本文將潛艇看作旋轉(zhuǎn)橢球殼，并根據(jù)橢球殼在外場下的磁化特性，提出面磁矩密度的概念，以及基于面磁矩分布的潛艇磁場計算方法。通過對分布在殼體表面上的無限個磁矩面元的積分，建立了潛艇磁場的面磁矩分布計算模型，同單個磁偶極子模型對比，得到以下結(jié)論：

1）在近距離上，面磁矩模型與磁偶極子模型的計算結(jié)果存在較大差異，面磁矩模型的磁場在強度上要明顯小于磁偶極子模型，且水平分量比垂直分量更明顯。

2）隨著距離的增加，2 種模型計算結(jié)果的差異在逐漸減小，面磁矩模型下磁場的衰減要小于偶極子的三次方，衰減速度較慢。

3）在距離大于3 倍潛艇尺寸時，潛艇磁場可為作單個磁偶極子模型進行處理，不會引入較大的誤差。

本文研究的主要意義在于，在由潛艇磁場的實測數(shù)據(jù)推算潛艇磁性狀態(tài)時，可取代單個磁偶極子模型，提高潛艇磁性狀態(tài)評估的準(zhǔn)確度，對潛艇磁場分布特性的推演、磁矩的估算以及消磁狀態(tài)評估等都有重要的意義。本文建立了潛艇磁場的正演模型，在后續(xù)研究中，還將開展基于該模型的潛艇磁性狀態(tài)反演評估方法研究。