直流電機位置跟蹤系統的建模與控制方法研究

魯元昊，艾學忠，楊葉禮，胡昆，袁天奇

（吉林化工學院 信息與控制學院，吉林吉林，132000）

0 引言

隨著智能裝備制造產業的發展，電機作為執行機構被廣泛應用于工業生產中。直流減速電機相較于步進電機等同類產品以其低廉的價格，較大的扭矩受到人們的青睞。然而在實際工業生產中，直流減速電機帶動復雜負載運動時，電機內部參數攝動、復雜負載疊加在電機上的轉動慣量等問題會致使電機位置控制產生超調、振蕩、精度較差等問題。

針對電機伺服系統建模和位置控制精度的問題，國內外學者展開大量研究。文獻[1]針對無刷直流電機內置行星減速器采用SolidWorks 仿真軟件建模。文獻[2]使用Simulink 搭建永磁同步電機數學模型，并利用SolidWorks和Adams 仿真軟件建立同步帶傳動模型，探究建立負載精確模型。文獻[3]采用Simulink 中的Simscape 庫對直流電機本體進行建模，未涉及內置減速裝置及外部負載建模。文中仿真也僅采用額定電壓驅動電機并且不能實現電機實時切換正反轉。同時，也并未采用控制算法進行伺服控制。文獻[4]提出了一種優化的粒子群算法整定PID 參數提高伺服系統精確度。文獻[5]采用蟻群算法對PID 參數進行整定，取得普通PID 參數的最優解以此來優化位置伺服系統。利用算法對傳統PID 參數整定的方法雖然會使控制精度有所提高，但系統實時性不夠好。文獻[6]設計了一個非線性擴展狀態觀測器對速度和擾動信號進行觀測補償。文獻[7]通過設計擴張狀態觀測器對干擾進行補償。文獻[8]采用反饋線性化的控制算法，這些算法必須要在能得到被控對象精確模型的前提下才能保證伺服系統的高性能。文獻[9]為解決無人機巡檢精度問題提出了一種基于反步法－積分滑模的控制策略。文獻[10]運用反步法設計滑模控制器，采用低通濾波器消除“微分膨脹”問題。目前仍存在被控對象數學模型與實際存在偏差，控制算法實時性不好，位置跟蹤易產生超調與振蕩現象等問題。

上述論文給本文提供了極大的參考價值。本文總體設計方案如圖1 所示，為解決多剛體動力學系統數學建模與實際存在誤差，提出在仿真軟件Simulink 中利用Simscape庫建立直流電機帶載物理模型，模擬直流減速電機帶動負載轉動。利用反步法求得滑模控制算法，控制運動系統精準定位。實驗結果表明，相較于傳統PID，本文控制算法在應對多剛體動力學模型運動控制具有魯棒性好，響應速度快，位置跟蹤精度高等優點。

圖1 總體設計方案圖

1 直流電機帶動負載物理模型

在實際工業生產中，直流減速電機被用來驅動各種機械設備，比如齒輪，轉盤等機械零部件組合成的復雜系統。在進行伺服系統控制研究的時候，一方面工業設備數學建模困難，另一方面負載之間的作用力復雜，極大的影響了伺服系統的位置控制精度。對于在工業生產中常見的多剛體運動系統，選取其中一種如圖2所示系統進行建模。直流減速電機作為驅動設備，對外提供動能。電機內置行星齒輪減速器，以降低轉速的辦法來增大扭矩，動能通過鏈傳動的辦法傳遞到旋轉機構，帶動其繞軸心旋轉。旋轉機構上的三個托盤等效為一個大圓盤，其上均勻分布小質量物體，由于摩擦力做功，小質量物體跟隨托盤轉動。

針對此運動系統，本文提出在仿真軟件中建立電機帶載伺服系統物理模型，解決數學建模對于實際擾動估計不準確的問題，更貼近于實際情況，也更能反映出控制算法對于多剛體運動系統的控制情況。搭建的直流電機位置跟蹤系統物理模型如圖3 所示。

圖3 直流電機帶載物理模型

物理模型前半部分搭建的是電機驅動電路。現實情況下，控制器產生PWM 信號改變輸出電壓的占空比，再通過H 橋電路驅動直流電機。在本文仿真中，H 橋模塊有4 個輸入口，分別為PWM 口、REF 口、REV 口、BRK 口。控制信號取絕對值經由數據類型轉換模塊輸入至受控電壓源模塊轉化為電壓信號，電壓信號再經由PWM 模塊轉化為等值PWM 信號，隨后PWM 信號接入H 橋模塊驅動電機旋轉。PWM 模塊輸出頻率為10k Hz，滿占空比輸入電壓為3.3 V。H 橋模塊和PWM 模塊的REF 口與受控電壓源的負端共地。為使H 橋模塊能夠根據控制信號的正負驅動電機正反轉，設置參數反轉閾值電壓為趨于零的值。經實驗可知，當REV 口輸入電壓大于反轉閾值電壓時，H 橋控制電機反轉。因此，取控制信號的負值經數據類型轉化模塊再轉化為電壓信號接入REV 口。BRK 口為電機制動信號輸入口，設置制動閾值電壓為大于零的值，外部接地，則電機不會制動。

物理模型中間部分搭建的是直流減速電機模型，由電阻、電感、旋轉電動機械轉換器、轉動慣量模塊、轉子阻尼模塊、行星齒輪減速箱和理想轉動傳感器組成。行星齒輪減速箱模擬直流減速電機內部減速機構，通過降低直流電機轉速來提供較大的扭矩。直流減速電機末端通過理想轉動傳感器模塊模擬旋轉編碼器，實時反饋伺服系統角速度和角位移。模塊輸出角速度和角位移單位為弧度/秒、弧度，為保證伺服系統控制的精準度，根據單位換算關系，將傳感器輸出信號輸出角速度和角位移單位為度/秒、度。

物理模型后半部分搭建的是負載模型，由鏈傳動模塊、轉動慣量模塊、負載模塊、輪軸、承載接觸摩擦模塊組成。轉動慣量模塊表示的是轉盤的轉動慣量，而負載模塊則是通過力矩產生模塊給模型施加一個脈沖信號代表擾動。輪軸模塊將繞軸機械轉動的動能轉化為垂直于軸心機械平動的力。當小質量物體均勻分布在轉盤邊緣時，由受力分析可得，摩擦力帶動小質量物體轉動，因此模型中設置了承載接觸摩擦模塊。在本文研究對象中，物體的質量相對于轉盤質量過小，因此物體的轉動慣量可忽略不計。

行星齒輪減速箱仿真模塊內部結構如圖4 所示，由兩組行星齒輪組連接構成，模擬直流減速電機內部的減速機構。電機傳動由太陽輪輸入，再由行星架齒輪輸出。

圖4 行星齒輪減速箱模塊

單個行星齒輪組減速比求解公式滿足：

行星齒輪組要達到同向減速的效果，須使環形齒圈固定，太陽輪輸入，行星架輸出。行星架角速度再作為第二組的太陽輪角速度輸入，最后第二組行星架角速度輸出。

解得：

其中，wC為行星架角速度，wS為太陽輪角速度，gRS為環形齒圈與太陽輪傳動比。

對于質量連續分布的剛體，轉動慣量表達式為：

轉盤在仿真中可近似為薄圓盤，它的面密度為：

在圓盤上任取半徑為r，寬度為dr的圓環，質量為σ2π rdr。

聯解(4)、(5)，得圓盤的轉動慣量為：

(4)、(5)、(6)式中：J圓盤為轉盤轉動慣量；m為轉盤質量；R1為轉盤半徑。

2 滑模控制器設計

2.1 直流電機狀態方程

構建控制器前提是求出直流電機狀態方程。根據基爾霍夫定律和牛頓第二定律，列出直流電機基本方程式為：

聯解(7)、(8)、(9)、(10)式可得：

(7)、(8)、(9)、(10)、(11)中，R 為電樞總電阻；i(t)為電樞回路電流；L 為電樞總電感；Ea為反電動勢；u(t)為加載到電機兩端電壓；KE為反電動勢系數；KT為電磁轉矩系數；w為轉子角速度；B 為電機轉子阻尼；J 為電機轉動慣量；Te為電磁轉矩；TL為負載轉矩；d代表負載轉矩、機械損耗、電機內部參數攝動等擾動。令x1為轉子角位移，x2為轉子角速度，可得直流電機狀態方程為：

2.2 控制器設計

設期望角位移為xa，則位移跟蹤誤差為：

跟蹤誤差的導數為：

由李雅普諾夫判據方法：若存在連續可導的標量函數V(x)，且V(x)正定，(x)負定，則x 漸近穩定。

定義Lyapunov 函數：

取虛擬控制項：

令e2=x2-α，可得：

取滑模面s=e2;

定義Lyapunov 函數：

設計滑模控制項：

滑模控制器選取合適的趨近律，有利于提高控制器的性能。因此在設計趨近律時采用sat(s)函數代替sgn(s)函數，降低抖振。即：

式中：

Δ 為邊界層厚度。

將式(21)代入式(20)中可得：

3 仿真驗證

本文仿真驗證選用直流減速電機及負載參數如表1 所示，物體質量取0.01 kg,轉盤質量取1～15 kg，以此來檢驗控制器帶動電機加載不同負載的狀態。

表1 物理模型參數

行星減速箱仿真結果如圖5 所示，令環形齒圈與太陽輪傳動比gRS1和gRS2為7，輸入常量經理想旋轉速度源模塊變換為等量的角速度信號，通過行星齒輪箱后，再由角速度傳感器測量前后角速度的比值，可得到仿真總減速比為64。

圖5 行星齒輪減速箱仿真圖

本文仿真對照組選用工程實踐中常用的普通PID 控制算法和模糊控制算法作為對比。經試湊法得出較優的控制參數為P=5，I=0.1，D=0.01。滑模控制算法參數c1=10，ε=10，Δ=0.02。在本文研究對象中，轉盤質量小于15 kg，當期望值為階躍信號時，取轉盤質量為1kg，5kg，10kg，15kg 得到如圖6、圖7、圖8、圖9 仿真結果。如圖所示，普通PID 算法及模糊算法在控制直流減速電機帶有負載的情況下會產生超調現象，隨后在期望值附近振蕩，最終歸于穩態。并且隨著負載的增大，普通PID 算法控制的位移曲線超調量變大，振蕩趨于穩態的速度變慢。模糊控制相較于PID 算法,仍然存在超調現象，但超調量減小。而本文算法并未產生超調和振蕩現象，誤差精度控制在0.1 度范圍內，但在轉盤質量過小時，系統達到穩態時間略慢。

圖6 轉盤質量1 kg

圖7 轉盤質量5 kg

圖8 轉盤質量10 kg

圖9 轉盤質量15 kg

負載端施加脈沖信號，通過轉矩傳感器轉化為額定的負載轉矩，可得到如圖10 的仿真結果。在負載端伴有負載轉矩擾動的情況下，本文控制方法對于此多剛體運動系統相較于PID 控制和模糊控制算法，負載擾動產生的角度偏移量小，更快趨于穩態，具有較強的抗干擾能力。

圖10 突加負載擾動

4 結論

針對傳統直流減速電機帶動復雜負載建立數學模型困難、控制效果不佳的問題，本文利用Simulink 仿真軟件搭建直流減速電機帶動復雜負載的物理模型，解決了復雜傳動系統建模困難問題，并運用一種基于反步滑模方法實現電機位置跟蹤。仿真結果驗證了該種控制方法在帶動不同質量復雜結構負載下，都能夠避免直流電機控制過程中的超調與振蕩現象，并且具有較強的抗干擾能力，這在一定程度上擴大了直流減速電機在實際生產中的應用范圍。