五相永磁同步電機的分數階滑模模型預測轉矩控制

繆仲翠, 王運坤, 王志浩

(1.蘭州交通大學 自動化與電氣工程學院, 甘肅 蘭州 730070; 2.蘭州交通大學 光電技術與智能控制教育部重點實驗室, 甘肅 蘭州 730070)

五相永磁電動機具有功率密度大、控制自由度多,容錯性能好等優點,在新能源汽車、航空航天領域和艦船推進系統等高可靠性場合得到了廣泛應用[1-2]。與同容量異步電機相比,多相永磁同步電機(permanent magnet synchronous motor,PMSM) 損耗更低、效率更高[3-4]。

直接轉矩控制(direct torque control,DTC)因其對參數依賴少、轉矩響應迅速等優點,在五相永磁同步電機(five-phase permanent magnet synchronous motor,FP-PMSM)調速領域得到了廣泛應用[5]。Zhang等[6]優化了控制磁鏈和轉矩的電壓矢量選擇方案,但仍采用了插入過渡電壓矢量的方法以滿足逆變器運行要求。Ozkop等[7]將空間電壓矢量技術引入到DTC,針對FP-PMSM提出了空間矢量調制優化DTC策略,獲得了脈動較小的轉矩,但增加了計算量。文獻[8]指出模型預測一定程度上可消除電機參數失配和模型誤差等因素對系統的影響,保證控制指令的跟蹤。有學者將模型預測結合DTC系統,提出有限集模型預測轉矩控制(finite-control-set model predictive torque control,FCS-MPTC)可以直接考慮被控過程的輸入、狀態和輸出約束條件,較為顯著地改善上述DTC開關頻率低、穩態性能差和轉矩脈動大的缺點[9]。FCS-MPTC采用控制系統通過枚舉法獲得可變的開關頻率,并降低開關損耗的特點[10]。

Abassi等[11-12]對FCS-MPTC算法進行了驗證,該算法控制性能優于磁場定向控制,且動態響應更快,約束力更強;文獻[13]提出電機磁鏈、電流等變量的兩步預測,減少系統延遲造成的預測誤差。文獻[14]中將諧波子空中的電流項加入了傳統的目標函數中,抑制了多相電機特有的3次諧波;文獻[15]指出轉矩與磁鏈的無差拍估計有利于減小FCS-MPTC計算量。實際上,基于FCS-MPTC雙電壓矢量空間的多周期預測結合滑模控制(sliding mode control,SMC)系統具有較強的魯棒性,要優于基于PI 的FP-PMSM普通調速系統,但SMC的抖振限制了其實際應用[16]。分數階微積分算法對系統參數攝動不敏感,恰好能夠有效地改善控制系統的動、靜態性能[17-18]。將分數階微積分理論和SMC相結合構建分數階滑模控制(fractional order sliding mode control,FOSMC),可有效抑制滑模抖振。

本文以FP-PMSM為研究對象,設計并優化了適用于FP-PMSM的FCS-MPTC系統。并根據FP-PMSM數學模型的特殊性對目標函數進行了改進,使輸出變量能夠更精確地跟蹤參考變量。同時設計了基于分數階微積分理論的FOSMC速度控制器,對系統不確定性因素和外部隨機擾動具有較強的魯棒性。最后,仿真實現所設計的FCS-MPTC系統,并將設計的FOSMC速度控制器與PI、SMC2種算法進行仿真對比,驗證所設計控制策略的有效性。

1 五相永磁同步電機

由自然坐標系到雙同步旋轉坐標系的擴展變換矩陣T(θe)[19]為:

(1)

式中:θi=θe+(1-i)α(i=1,2,…,5)表示轉子縱軸與a相軸線的電角度;α是相鄰兩相繞組軸線之間的夾角,α=0.4π。

FP-PMSM的電壓矢量空間包含4個自由度分量和1個零序分量。正常運行狀態下,可根據變換矩陣T(θe)將自然坐標系中對稱物理量分別映射到雙同步旋轉坐標系d1-q1和d2-q2中。對于繞組按正弦分布且永磁體磁通為正弦波的五相表貼式PMSM,基波變量和±(10j±1),(j=1,2,3,…)次諧波變量經變換矩陣T(θe)的前兩行映射到d1-q1坐標系,電機變量中的±(5j±2),(j=1,2,3,…)次諧波變量經變換矩陣T(θe)的第 3、4行,映射到d2-q2坐標系,且不參與機電能量的轉換。電機變量中的5j,(j=1,2,3,…)次諧波變量被映射到第5行的零序子空間中。對于星形連接的五相對稱繞組,該項始終保持為零[20]。在雙同步旋轉坐標系下,FP-PMSM的數學模型為:

1)電壓方程:

(2)

2)磁鏈方程:

Ψdq=LdqIdq+ψfT(θe)Λ

(3)

3)電磁轉矩方程:

Te=5/2Npiq1[(Ld-Lq)id1+ψf]

(4)

式中Np為電機磁極對數。

4)機械運動方程:

(5)

式中:TL為電機負載轉矩;J為轉動慣量;B為傳動系統摩擦系數;ωm為機械角速度。

1.1 離散數學模型

FCS-MPTC算法首先根據離散化的電機模型預測一個控制周期Ts之后的狀態量。根據式(1)～(3),采用前向歐拉近似法得到FP-PMSM的離散狀態方程:

(6)

(7)

則A、B和C表示為:

1.2 有限集模型預測控制的實現

由五相電壓源逆變器驅動FP-PMSM的主回路拓撲結構如圖1所示。

圖1 FP-PMSM的主電路Fig.1 FP-PMSM’s main circuit

(8)

將五相逆變器的所有開關狀態組合代入式(8)中,可以得到32個基本電壓矢量,包括30個非零電壓矢量和2個零電壓矢量。根據電壓矢量幅值的不同可以分為大矢量、中矢量、小矢量以及零矢量4種。這4種不同幅值的矢量電壓以不同的相位關系構成基波空間和諧波空間,它們都將空間劃分為10個扇區[21]。

根據五相坐標變換理論,可得預測方程中的電壓矢量集合與逆變器開關狀態的關系為:

(9)

式中T為五相逆變器開關矩陣:

通過FCS-MPTC的目標函數min{fi}選取最優基本電壓矢量,可有效降低開關頻率、減少轉矩和磁鏈波動。即在每個采集時刻,通過目標函數評價基本電壓矢量Vi(i=0,1,2…,31)的作用效果(2個零矢量計為1個),從而選擇出最優的電壓矢量組合。根據式(8),設計目標函數時,min{fi}的參考變量表征為預測變量與參考變量之間的差值。一般將差值設計為一個采樣周期的絕對值誤差為:

min{fi}=|x*-xp|

(10)

式中:x*為受控變量的參考值;xp為受控變量預測值。MPTC是對定子磁通和轉矩的未來情況進行預測,則基于FP-PMSM的MPTC目標函數為:

(11)

式中:k1、k2為權重系數,用于處理該項與目標函數中其他項的權重關系。一般按照轉矩與磁鏈具有相同權重的原則進行初始值設計[22],即k=TN/ψN,TN、ψN分別是額定轉矩、額定磁鏈幅值,并根據實際情況進行調整以獲得更好的現場控制性能。

式(11)是傳統的FP-PMSM預測控制目標函數設計方法,但是FP-PMSM的MPTC需要考慮2個旋轉坐標系下的誤差值,為從整體上提高誤差跟蹤精度,同時在目標函數中引入積分項:

(12)

圖2 FP-PMSM-MPTC最優電壓矢量選擇Fig.2 FP-PMSM-MPTC optimal voltage vector selection

(13)

1.3 控制系統的延遲補償

(14)

式中Imax為最大允許定子電流幅值。如果t(k+2)時刻電壓矢量組合生成的預測電流幅值大于Imax,則目標函數不會選擇該狀態下對應的電壓矢量組合。反之,則由式(13)和式(5)選擇該電壓矢量組合作為最優電壓集合作用于控制系統。

一個采樣周期內基于FP-PMSM的FCS-MPTC實時執行算法流程如圖3所示。

圖3 一個采樣周期內FCS-MPTC算法實現Fig.3 Flowchart of FCS-MPTC in one sampling period

2 分數階滑模控制器設計

2.1 分數階微積分

Riemann-Liouville(RL) 型分數階微積分在工程中應用較廣[23-24]:

(15)

根據RL定義的分數階積分為:

(16)

整數階PI的時域內定義式為:

(17)

圖4 分數階積分示意Fig.4 Schematic diagram of fractional integration

2.2 分數階滑膜控制器設計

為了進一步提高FP-PMSM系統控制性能,速度控制器設計為FOSMC算法。設計步驟為:

1)切換函數的構造,合理的切換函數是滑動模態漸近穩定和動態性能的保證;

2)分數階滑模控制律設計,滑模控制律是系統狀態能快速到達滑模面的保證。

2.2.1 分數階滑模面設計

根據式(4),可得電機機械角速度微分方程為:

(18)

式中:α=1/J;β=TL/J;γ=B/J。

考慮到電機參數變化及系統內、外部不確定因素對系統的擾動,式(18)可進一步表示為:

(19)

式中Δγ、Δβ和Δα表示系統模型對不確定性因素的衡量,滿足:

Δα+Δβ+Δλ≤M,M∈R+

定義系統的速度跟蹤誤差為:e(t)=ωref-ωm其中,ωref為速度輸入給定值。

對e(t)求導得:

結合式(18)、 (19)得:

(20)

其中:

定義分數階滑模面為:

(21)

式中:δ(t)=δ(0)exp(-t/M);M為常數,決定了δ(t)的收斂速度;c1,c2∈R,為滑模面增益。

當系統在滑模面上運動時,滿足:

(22)

由式(19)、式(21)聯立得到:

(23)

2.2.2 分數階滑模控制律設計

等速趨近律為:

用冪次函數fal(s,κ,ξ)代替sgn(s),可以大幅度削弱系統的抖振現象,其中:

fal(s,κ,ξ)是線性連續的,當ξ>0,0<κ<1時可以實現小誤差、大增益等特性。根據式(20),采用fal函數的分數階滑模控制律設計為:

(24)

由式(19)、式(23)可以得到轉矩控制量輸出為:

可以看出,所設計的控制器中消除了系統中不確定因素,說明基于式(23)設計的控制器對系統內、外部擾動表現出較強的魯棒性。

2.3 穩定性證明

采用Lyapunov函數法證明所設計的FOSMC控制器的穩定性,選取Lyapunov函數為:

(25)

s[μ(t)-εfal(s)]=-ε|s|+sμ(t)≤

-ε|s|+|μ(t)||s|≤(|μ(t)|-ε)|s|

(26)

可以看出,選擇滑模增益ε滿足:

(|μ(t)|-ε)≤0

綜上所述,基于FOSMC的FP-PMSM 的FCS-MPTC系統結構框圖如圖5所示。

圖5 基于FOSMC的FP-PMSM的MPTC結構框圖Fig.5 Block diagram of MPTC structure of FP-PMSM based on FOSMC

3 改善電機電磁轉矩和轉速的有效性仿真分析

為了驗證基于FOMSC的FP-PMSM的FCS-MPTC策略對改善電機電磁轉矩和轉速的有效性,以Matlab/Simulink為平臺進行仿真驗證。并將速度控制器分別為FOSMC、PI、SMC在不同運行工況進行了對比分析。所采用的FP-PMSM參數如表1所示。

表1 FP-PMSM系統相關參數Table 1 FP-PMSM system related parameters

3.1 帶載起動

設系統給定速度為額定轉速1 000 r/min,仿真時間設為0.2 s,系統帶初始負載TL(0)=15 N·m起動,FP-PMSM五相電流響應如圖6所示。可以從6(c)看出,與PI控制器和SMC相比,基于FOSMC控制系統的輸出電流波形更為平滑,諧波含量更小。

圖6 五相繞組電流響應對比Fig.6 Comparison graph of five-phase winding current response

為了對比的公平性,通過調整參數使采用不同控制器的轉速響應穩態誤差相等,轉速響應如圖7所示,表2為不同控制系統的動態性能指標,穩態誤差ess為0。

圖7 轉速響應對比Fig.7 Comparison graph of speed response

表2 不同控制系統的性能指標Table 2 Performance of different control systems

可以看出,PI控制器不可避免的存在超調,SMC和FOSMC控制器幾乎無超調地跟蹤給定信號,但FOSMC的調整時間更短,有更好的動態性能。

FP-PMSM控制系統電磁轉矩響應如圖8所示,由局部放大圖可看出基于FOSMC系統轉矩脈動最小。

圖8 轉矩脈動對比Fig.8 Comparison graph of torque ripple

圖9 突加負載時轉速響應對比Fig.9 Speed response comparison charts when sudden load is applied

3.2 空載起動突加負載

系統給定速度為1 000 r/min,仿真時間設為0.6 s,空載起動后在t=0.2 s時突加10 N·m的負載,系統速度響應如9所示。

突加負載時,不同控制策略的性能指標如表3所示。

表3 突加負載時性能指標Table 3 Performance indicators sudden load

可以看出,PI控制的上升速度快,但是調節時間較慢,超調量大;SMC超調明顯減小,僅為0.9%,但穩態誤差為4 r/min;而FOSMC具有更快的響應速度,超調僅僅0.31%,幾乎可以忽略,穩態誤差只有0.4 r/min,由于電機的慣性平滑作用,可實現零靜差。在0.2 s突加負載后,PI控制器的動態降落較大,達到了80 r/min,SMC為47 r/min,而FOSMC僅有5 r/min的動態降落,恢復時間也是最快的,僅0.003 3 s。以上仿真實驗驗證了基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統具有良好的動、靜態性能和較強的抗負載擾動性。

3.3 變速運行

為了進一步驗證基于FOSMC的FP-PMSM FCS-MPTC控制系統在低、中、高速階段的運行性能和變速時的性能,仿真實驗設定轉速為:0～0.1 s給定100 r/min;0.1～0.2 s給定500 r/min;0.2～0.3 s給定1 000 r/min,并分別在0.05、0.15 s、0.25 s突加10 N·m的負載。系統變速運行速度輸出如圖10,速度跟蹤誤差如圖11所示。

圖10 系統變速運行對比Fig.10 Comparison graph of system variable speed

圖11 變速運行的速度誤差Fig.11 Speed error graph of variable speed

在t=0.1 s和t=0.2 s時刻,由于系統突加階躍給定和系統延遲有較大的誤差,但FOSMC在很短的時間內準確跟蹤了給定信號。在不同階段運行時,系統都能夠保持較小的靜差,說明對于 FP-PMSM在低速、中速、高速運行的情況下,設計的FOSMC控制系統均能較好的滿足控制要求。

3.4 正、反向速度跟蹤

為進一步驗證基于FOSMC速度控制的速度跟隨性能,給定信號設為周期為0.2 s、幅值為1 000 r/min的正弦信號,并包含了電機正、反向的動態變化。速度跟隨如圖12所示,對應的定子電流如圖13所示。

由圖12可知,系統在跟隨正弦速度給定信號時,誤差在±2 r/min以內;如圖13所示,在速度跟隨過程中電機的電流輸出穩定,轉速過零時,電流能平滑換相。

圖12 速度跟隨性能對比Fig.12 Comparison graph of speed following performance

圖13 電機反轉時定子電流Fig.13 Stator current when the motor reverses

4 結論

1)本文提出的模型預測控制的跟隨給定誤差最小目標函數構造方法,實現了適用于FP-PMSM系統的FCS-MPTC算法;進一步提高FP-PMSM的FCS-MPTC系統控制性能。

2) 基于FOSMC的FCS-MPTC系統比傳統控制系統的性能更加優秀,特別適用于高耦合、變量多的控制系統,通用性較強。

本文的控制系統中,FCS-MPTC的目標函數中權重系數需要大量的試湊,使系統參數調節變的復雜。如何進一步簡化權重系數,如粒子群的權重系數在線尋優,或者實現無權重系數的目標函數構造,這些將是下一步工作重點。