換元法在高中數學解題中的應用技巧

【摘要】通過“換元”分析題目、梳理思路、簡化運算、解決問題，是高中一種至關重要的解題技巧.文章參考2019年人教版高中數學教材核心知識點，從內涵、價值、方法、類型題等多個維度層層深入，探究換元法的具體應用，希望對一線教師的教學有一定啟發，幫助學生在高中數學解題中全面掌握換元法.

【關鍵詞】高中數學；換元法；解題教學

引 言

換元法是一種數學解題方法，體現著重要的數學思想，在高中數學方程、不等式、函數等問題中有著十分廣泛的應用.教師應使學生充分認識換元法在高中數學解題中的應用價值，掌握其應用技巧，以培養學生高中數學解題能力，使其數學思想、能力等實現良好的發展.這要求教師立足實際研究換元法在高中數學解題中的應用技巧，全面把握其基本方法與關聯題型，為學生提供恰到好處的指導.

一、換元法的內涵

換元法也稱“變量代換法”“輔助元素法”，是一種在數學解題過程中以新的變量取代原有變量的方法.展開來說，換元法是在數學解題過程中引入一個或多個新的變量代替題目中原有的某些復雜或干擾變量，從而將分散在題目中的已知條件準確聯系起來，突出隱含條件，將題目變成學生更容易理解的形式，簡化煩瑣的運算過程.

二、換元法在高中數學不同類型題中的應用

掌握換元法在高中數學解題中的應用技巧，應準確理解其適用題型.這樣，學生才能在面對換元法相關題目時，及時確定“換元”解題思路，節約思考時間.因此，教師還應引導學生歸類典型題，探索換元法在高中數學不同類型題中的應用.比如，方程問題、函數問題、不等式問題、數列問題.

（一）方程問題

方程問題是高中數學最基礎的一項知識，是學生解答高中數學函數、導數等其他問題的重要基礎.以人教版高中數學教材為例（2019年版），其在高一必修第一冊便編排了“一元二次方程”知識點，足見方程在整個高中數學學習過程中的重要性.而對于一些復雜的方程問題，只有通過換元才能順利求解.

（二）函數問題

高中數學函數問題可概括為“基礎函數問題”與“三角函數問題”，前者還可細分為“二次函數基礎問題”“指數函數基礎問題”“對數函數基礎問題”等，后者由于在“三角形”背景下，因此被單獨歸類.換元法不僅可以用于解決“二次函數”等基礎函數問題，還在三角函數問題的解答中有特殊功能.教師應使學生全面掌握函數問題中的換元技巧.而“換元法在基礎函數解題的應用”中，主要題型有“函數解析式問題”與“最值問題”，下面將結合具體例題一一論述.

1.函數解析式問題

一般情況下，高中數學函數解析式問題可以通過待定系數法求解，若題中已知條件無法滿足待定系數法解題需要，換元法便派上了用場.

2.最值問題

高中數學最值問題包括“最大值”“最小值”問題，在二次函數、指數函數等函數中均有應用.而且，在某種意義上，圓錐曲線方程問題也屬于函數問題，上述“三角換元解橢圓方程最大值”問題，本質上也是換元法在函數最值問題中的應用.因此在本部分，將不再對圓錐曲線方程最值問題展開贅述，以二次函數為重點討論對象.

通過將三角函數中某一個三角函數關系式換元，引發原函數其他變量的相應變化，將原函數由三角函數轉化為二次函數，根據“換元”后函數變量取值范圍變化情況確定二次函數定義域，求出其值域，該值域也是原函數待求值域.在換元法與三角函數問題的緊密融合中，高中數學三角函數解題難度也大大降低.

（三）不等式問題

不等式問題同樣是人教版高一必修第一冊（2019年版）第二章“一元二次函數、方程和不等式”部分教學內容，其典型題目包括求不等式某一變量取值范圍、證明不等式等.

具體來說，此題應用三角換元法，通過設原不等式變量x為三角函數cosθ，同時設定角θ取值范圍，將不等式轉化為與sinθ相關的關系式.之后，可根據角θ在特殊取值范圍下的值域確定sinθ取值范圍，從而反證不等式，降低不等式證明難度.但是在應用此技巧時，還要注意換元的等價性，不僅要保持題目各個變量之間的關系不變，還要使各變量取值范圍在換元前后保持一致.

（四）數列問題

換元法在數列解題中的應用，主要包括在數列的遞推通項公式或前n項和公式過程中，構造等差數列或等比數列；在關于數列的不等式問題中，求解數列最值.

例如，人教版高二選擇性必修第二冊（2019年版）第四章“數列”教學中，有下列題目：

結 語

綜上所述，在高中數學解題中，換元法既可以保障解題效果，又可以使學生感悟數學思想，感悟換元法應用在高中數學解題中具有的極高現實意義.教師應使學生領會換元法在高中數學解題中的常見方法，同時區分適用于換元法的不同題型，使學生全面掌握換元法應用技巧.此外，教師還需讓學生建立“勿忘換元”意識，使其“換元”有始有終.

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