中美初中數學教材函數內容難度的比較研究

胡莉莉 李雅琪

【摘要】本文主要應用數學課程難度模型，對中美兩國初中數學教材函數內容作定量的比較，從中得到些許啟示，以期對我國數學教育改革起到點滴借鑒意義

【關鍵詞】中美比較，初中數學教材函數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）03-0081-02

1.課程難度數學模型 N=αS/T+(1-α )G/T

本課程難度模型N=αS/T+(1-α )G/T是由史寧中、孔凡哲等教授構建的，用來刻畫課程內容難度水平。N表示課程難度，G表示課程廣度，S表示課程深度，T表示課程實施時間。其中G/T表示可比廣度（單位時間下課程的廣度），S/T表示可比深度（單位時間下課程的深度），α稱為加權系數，0＜α＜1，是一個經驗常數，反映了可比廣度、可比深度對課程難度影響的側重程度。其中，課程深度是指課程內容所需要的思維的深度，目前多是用課程目標要求的不同程度或是用抽象度分析法來量化。課程實施時間是指完成課程內容所需要的時間，可以用“課時”來量化。課程廣度是指課程內容所涉及范圍和領域的廣泛程度，可以用我們通常所說的“知識點”的多少進行量化。為了方便起見，對于同一門課程不同版本的兩個教材A和B，分別用N（A）和N(B)表示其課程難度系數，N (A)>N(B)說明A比B難，難度系數的差值越大，則說明難度的差別越大。

2.兩國初中數學教材函數內容難度的比較

本論文中的教材主要是指教科書。我國的數學教材是指人民教育出版社2004年版7-9年級學段的義務教育課程標準實驗教科書。美國的數學教材是由美國Pearson Prentice Hall 出版社2004年出版的7-9年級學段數學教科書，簡稱PH版教材。之所以選用這兩套教科書作為比較的對象，主要有兩個原因。①兩套教材在本國的使用范圍都比較廣泛，具有很強的代表性。②這兩套教材都是新課程改革背景下的教科書。

本文對課程深度、課程廣度和課程時間具體規定如下：

課程深度： 本文主要應用相對抽象度分析法對中美初中數學教材函數內容進行分析。

課程廣度：對知識點的理解和中學數學中知識點的劃分，目前尚無統一認識。為了比較的公平性，我們把兩國在新授課中需花費一個課時（40-45分鐘）進行的主要內容看作為一個大的知識點。通過對兩國相應內容的比較，發現兩國每個大的知識點所包括的定理，概念，運算等數量基本一致。美國的教材每章中的每一小節基本上就是一個課時，因此每一小節的主要內容就視為一個知識點。我國人教版的初中數學教材每個小節視內容的多少，每節相應分成幾個部分，每一部分需一課時。以上對知識點劃分的合理性分別通過對中美兩國初中數學教師的訪談得到了驗證。

課程時間：對每部分內容所占課時的多少。我國的教材主要是根據人教社所制定的課時計劃。美國的初中數學教材每一小節就是一個課時，這與美國課程標準所公布的總課時數約為260課時基本一致。

2.1一次函數的比較

人教版教材一次函數內容設置在八年級下冊，內容設置的整體思路是通過對實際問題進行分析給出了函數的定義，接著研究了一次函數的圖像和表示方法，在研究特殊的一次函數——正比例函數的圖像的性質基礎上研究了一次函數圖像的性質。主要知識點為：變量與函數的概念，函數的三種表示法，正比例函數，一次函數，用函數觀點再認識二元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程組。共六大知識點，共15課時。

根據抽象度分析法：A函數的定義及畫法1.0，B正比例函數的圖像和性質1.0，C一次函數的圖像和性質0.5，D一次函數與二元一次方程0.5，E一次函數與一元一次不等式0.5，F一次函數與二元一次方程組。綜合深度deg(F|A)=3.5,即課程深度S=3.5。

美國PH版教材一次函數的內容分布在七、八兩個年級，七年級第12章在研究數列的基礎上給出了一次函數的定義，繼而研究了一次函數的圖像及解析式的求法，一次函數的實際應用。在七年級的基礎上深化，八年級的第五章繼續研究了一次函數（線性函數）的實際應用，把函數看成映射，并學習了定義域、值域。七、八兩個年級的課時總量為12課時。主要知識點為：數列與關系，一次函數的定義畫法，求解析式，一次函數（線性函數）的實際應用，映射共5大知識點12課時。

根據抽象度分析法：A一次函數的定義畫法0.5，B解析式1.0，C一次函數（線性函數）的實際應用1.0，D正比例函數1.0，E函數及映射。綜合深度deg(E|A)=3.5,即課程深度S=3.5。

其中0＜α＜1，所以0.2330＜N1＜0.400， 0.2920＜N2＜0.417，如果取α=0.5, 則N1=0.316, N2=0.354

通過比較得出：N2>N1，因而美國PH版初中數學教材一次函數課程難度要高于中國人教版相應課程內容的難度。

2.2二次函數內容難度的比較

人教版教材二次函數的內容設置在九年級第二十六章，本章主要研究二次函數的概念、圖像和基本性質，用二次函數觀點看一元二次方程，用二次函數分析和解決簡單的實際問題等，共5個知識點，總課時數為12，課程深度為3。

美國PH版教材此部分內容設置在八年級的第十章，主要知識點為：二次函數的概念、圖像、基本性質、應用，總課時數為4，課程深度為3。

其中0＜α＜1，所以0.250＜N1＜0.500， 0.750＜N1＜1.250，如果取α=0.5，則N1=0.375， N2=1.000

通過比較得出：N2>N1，因而美國PH版初中數學教材二次函數課程難度要高于中國人教版相應課程內容的難度。