數學文化視角下的深度學習案例研究

【摘要】本文以教學歐拉公式為例闡述在高中數學教學中融入數學文化，促進學生深度學習的途徑：厘清數學符號產生的緣由；在數學概念、公式和定理的生成過程中重現數學文化的背景；在文獻閱讀和數學寫作中為學生提供數學文化素材；在數學探究和數學建模過程中讓學生體會數學文化的價值；在數學話劇表演和數學游戲中展示數學文化的魅力；在平時練習和各類考試中合理地設計蘊含數學文化的試題，加深學生對數學文化內涵的理解。

【關鍵詞】數學文化深度學習核心素養文化自信

【中圖分類號】G63【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2023）02-0113-06

教材是實施數學文化教育的重要載體。教師在傳授知識的過程中，適度呈現教學內容的文化背景，有利于學生深度理解知識，領悟植根于知識深處的思想和方法；在接納這些思想與方法的同時，繼承和發揚古今數學家敢為人先的創新精神和嚴謹求實的科學精神。這是學習者由淺層學習向深度學習轉變的有效途徑，對提升學生的數學學科核心素養意義重大。

一、概念界定與教學之困

（一）概念界定

1.數學文化

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動。

一線教師不僅要在教學中注入中國數學元素以增強學生的文化自信，還要在教學中注入西方數學發展史，從而拓寬學生的視野。學生通過體驗這些思想方法的曲折形成過程，繼承和發揚數學家們敢為人先的創新精神和嚴謹求實的科學精神，進一步理解和運用數學，從淺層學習向深度學習過渡。

2.深度學習

田慧生團隊將深度學習界定為：在教師的指導下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。在這個過程中，學生掌握學科的核心知識，理解學習的過程，把握學科的本質及思想方法，形成積極的內在學習動機、高級的社會情感、積極的態度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創造性，又具備合作精神，且基礎扎實的優秀學習者。

深度學習的特征如下：它克服了知識的碎片化，學生能夠體會到數學知識的整體性和關聯性；它強調學習者全身心參與體驗，是富有思維含量的數學活動，學生在獲得知識、方法的同時，體驗到成功的喜悅；它能抓住數學知識的本質和關鍵特征，加深對知識的理解和體會，學生能夠領悟到數學核心內容的本質；它能提升遷移能力和應用意識，學生能夠將知識遷移到新的情境中加以運用。可見，數學文化的內涵與深度學習的特征高度契合。

（二）數學文化融入教學之困

在高中數學教學中融入數學文化主要存在三個方面的困境。首先是教師方面：部分教師還沉浸在與“題海”的搏擊中，為了應對考試而教，認為在課堂上融入文化教育會影響教學進度和解題訓練時間；教師參加的新課程培訓涉及數學文化融入課堂的內容少，教師得不到示范和引領，不知怎樣在教學中融入數學文化；多數教師一般只閱讀與所教學段相關的書籍，不太主動搜集與數學文化相關的著作并加以學習，數學史知識儲備少，導致將數學文化植入課堂失去了本源；有些教師對數學文化還存在著認識上的偏差，認為數學只是計算和推理的工具，他們認識不到數學也是表達和交流的工具，認識不到傳授數學知識本質上也是在傳授數學文化。其次是學生方面：學生大多學業負擔過重，無暇顧及與考試內容關系不緊密的內容，難以對數學文化拓展產生共鳴。最后是教材方面：教材提供的文化閱讀素材基本上編排在章節的最后，難以引起學生的注意；教材呈現數學文化內容的形式比較單調，基本上是以文字和圖片方式呈現，難以激起學生的興趣。

筆者認為，將數學文化融入教學日常可以從以下幾個方面入手：厘清數學符號產生的緣由；在數學的概念、公式和定理的生成過程中重現數學文化的背景；在文獻閱讀和數學寫作中為學生提供數學文化素材；在數學探究和數學建模過程中讓學生體會數學文化的價值；在數學話劇表演和數學游戲中展示數學文化的魅力；在平時練習和各類考試中合理地設計蘊含數學文化的試題，加深學生對數學文化內涵的理解。

北師大版數學教材必修二第四章“復數”的第一頁出現了歐拉恒等式eiπ+1=0，這一恒等式集5個常數于一身：0和1來自算術、i來自代數學、π來自幾何學以及 e 來自分析數學。這一恒等式是初等數學與高等數學的結合，它不僅有嚴密的邏輯推理和繁雜的數學計算兩大數學外在表征，還深藏著許多文化內涵，如符號來歷、初等數學的應用以及高等數學知識的創立等，是在高中數學教學中融入數學文化引導學生進行深度學習的好素材。教師挖掘隱含在這個恒等式背后的科學精神和文化背景，能夠激發學生內在的學習動機，進而發展學生的數學學科核心素養，發揮數學學科的育人功能。

二、歐拉公式的教學過程

面對“歐拉公式”這個具有挑戰性的主題，師生將從 e的產生，函數 ex、sin x和 cos x的導數，泰勒公式的發現，歐拉公式的成形等方面入手，系統地學習歐拉公式的形成過程。

【問題1】e是什么？

師：圓周率π和虛數單位i的來歷，大家已經非常清楚，但是大家對 e 的來歷卻很陌生。要了解 e 的來歷，還得從銀行存款說起。本金p 元，年復利率是 r 。第一年年末本利將變為p（1+r），第二年年末本利是p（1+r）2，第 t年年末本利是p（1+r）t 。如果用 s來表示第 t年年末的本利和，則 s=p（1+r）t 。如果銀行每年計算復利 n次，則每次利率是多少？

生：。

師：t 年內，銀行結算多少次？本利和為多少？

生：nt次，其本利和為 s =p 1+ ?（?）nt。

師：令 p =1，t =1，r =1，則 s =1+ ?（?）n 。當計算復利的次數 n→∞時，請說出你對 s認可的一個值。

（學生有的認為s →1，有的認為 s →∞，爭得面紅耳赤）

師：要計算1+ ?（?）n 的值，我們需要把它展開，你們會想到什么定理？

生1：二項式定理。

[學生運用二項式定理展開得：1+ ?（?）n =1+ · + · + · +…+nn -1…3×2×1 1

師：無界的問題要化為有界的問題，上面的展開式將如何變形？

[師生交流，得到變式：1+ ?（?）n =1+ + 1- ?（?）+ 1- ?（?）1- ?（?）+…+ 1- ?（?）1- ?（?）…1- ?（?）]

師：怎樣將有窮問題化為無窮問題呢？

生2：取極限。因為在 n →∞時，，，…的極限都是0，因此有 ln 1+ ?（?）n =1+ + + +…+ +…（1）。

師：下面估計1+ ?（?）n 的取值范圍。觀察（1）知，1+ ?（?）n gt;2；要得（1）式的上限，我們又需要進行怎樣的變形？

生3：我想對（1）進行放大，再裂項消項。由n！gt;n（n-1）得1+ ?（?）n ＜1+ + + +…+ ＜1+ + + +…+ ＜2+ 1- ?（?）+ - ?（?）+…+ - =3- ＜3.

師：精彩！令 e= ln 1+ ?（?）n ，故 e=1+ + + +…+…∈（2，3）。

師：e 到底等于多少呢？用計算機計算得下表（如下頁表1所示）。

師：e 值約為2.71828，是無理數。在18世紀到19世紀的百年歷程中，在級數理論的引領下，數列成了研究函數的基本工具，數列的研究經歷了由簡單到復雜、從有限到無限，實現了從數項到函數項轉變，并有推廣 e= xl 1+ ?（?）x （圖象在表1中），或e= lx 1+xx（1） x ∈ R+。

【設計意圖】說明 e的來歷，即這個常數的出現與銀行計息有關。美國教育家杜威先生說過：“數學不僅僅是簡單的告訴，教學是一種經歷，一種體驗，一種感悟。”17世紀初，數學家們還沒有提出極限概念，人們對這個常數的認識只是一個沒有經過嚴格證明的經驗總結，采用的是合情推理。蘇格蘭數學家約翰·納皮爾發明了對數，他在對數著作中首次提到了這個常數，這個常數的誕生比微積分早半個世紀。歐拉善于用字母表示常數和變量，他在《力學》一書中首次用 e表示這個常數。在數學文化的引領下，學生加深了對數e的理解，發展了數學抽象、數學運算兩大核心素養。

【問題2】函數f（x）=ex 的導函數為什么是自己？

師：你能用導數的定義求函數f（x）= a（a＞x 0，且a≠1）的導函數嗎？

生：由導函數的定義得 f ′（x）= limΔx → 0。但是下面不知道怎么做了。

師：我們已經知道（a）x ′，只需證明limΔx → 0即可。

生4：令人困惑是，指數怎么變成了對數呢？

師：指數與對數可以互化嗎？

生4：明白了，令t= aΔx，則Δx=logat。但是往下變形行不通。

師：大家想象力再豐富一點，往數e的來歷方向想想。

生 5 ：令 t= aΔx -1 ，Δ x=loga（t+1），f ′（x）=ax limt→ 0

【問題3】函數f（x）=sin x的導函數是什么？

師：當Δ x →0 時，cos Δx →1，sin Δx →Δx，Δx = 1，請大家用導數的定義證明正余弦函數的導數。

生：由導數的定義得f′（x）= limΔx → 0sin x cos Δx + cos x sin Δx - sin x所以（sin x）′=cos x，仿正弦導數的證法得（cos x）′=-sin x。

【設計意圖】用常數 e 論證函數 f（x）= ex 的導函數的過程極具挑戰性，這里采用了綜合分析的方法。學生在換元的過程中先嘗到失敗的滋味再體驗成功的喜悅，磨礪了他們的意志。正弦函數、余弦函數的導數推導相對容易，采用的是綜合法。在數學文化的引領下，學生通過有深度的學習，深刻地體會到數學知識的整體性和廣泛聯系性。

【問題4】所有的初等函數能不能用一個公式來擬合？

師：當f（x）=ax + b （a ≠0）時，[x0，f（x0）]是函數 f（x）圖象上一個點；我們發現過該點的切線與原函數圖象重合，則一次函數的擬合函數為 y=f（x0）+ f ′（x0）（x-x0）。當f（x）=ax2+ bx +c（a≠0）時，點[x0，f（x0）]是函數f（x）圖象上一個點，則此函數的擬合函數是什么樣子？

生6：我猜是y=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ （x-x0）2。

師：請你給出證明過程。

生6：f ′（x）=2ax+b，f ′′（x）=2a，y=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+ 靜態到動態，厘清了泰勒公式與任意函數的關系。

（x-x0）2=ax0（2）+bx0+c+（2ax0+b）（x-x0）+ （x-x0）2=

ax0（2）+ bx0+c +2ax0 x-2ax0（2）+bx-bx0+ ax2-2ax0x + ax0（2）= ax2+ bx +c。

師：一般地，當f（x）=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0（an≠0）時，點[x0，f（x0）]是函數f（x）圖象上一個點，請試著寫出此函數的擬合函數。

生：y=f（x0）+f ′（x0）（x- x0）+ （x-x0）2+ （x-x0）3+…+ （x-x0） n。

師：由此可推測，一切在 x=x0處具有 n 階導數的函數f（x）皆可以用……

生：f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+ （x-x0）2+ （x-x0）3+…+ （x-x0） n 擬合。

師：將函數f（x）分別換成指數函數、對數函數、三角函數，再用計算機進行動態演示。圖 1是f（x）= sin x 的情形。

（學生活動：發現函數跟 x0的取值無關；導數的階數越高擬合越好，但不能完全擬合，必須在后面加上誤差值。只有導數的階數趨向無窮大時，才能完全擬合）

師：由此擬合函數為f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+（x-x0）2+ （x-x0）3+…+（x-x0）n +Rn （x），其中 Rn （x）為余項，是（x-x0）n 的高階無窮小。這就是泰勒展開式。

當 x0=0時，f （x）=f （0）+f ′（0） x + x2+公（f ′）0。） x3+…+ xn +0（xn ），這就是麥克勞林

師：泰勒展開的目的是用多項式擬合一般函數；擬合方法為保證多項式與原函數在 x0處從0至無窮階導數都相同，也就是保證了兩曲線凹凸性相同。

【設計意圖】先從特殊到一般，再借助計算機從靜態到動態，厘清了泰勒公式與任意函數的關系。泰勒創立了有限差分理論，在此理論的指導下，所有只含一個變量的函數都可展開成冪級數。由于人們對級數的收斂性認識不足，泰勒公式發明后在很長一段時間里得不到嚴格的證明，直至19世紀20年代柯西才完成對泰勒公式的證明。泰勒展開式體現了整體細化為局部的微分思想、用“有限和”去描繪“無限和”的積分思想。這種局部化“用平直取代彎曲”的思想，是微分學的精義所在。這不僅是一次深入數學本質的數學建模活動，更是一次通過數學文化潤物細無聲的育人過程。

【問題5】函數y=e，y=sinx，y=cos x的展開式是什么？

師：請用麥克勞林公式推出三個函數的展開式。

（學生活動：分成三個小組分別推導三個函數的展開式）

小組1：

師：真棒！

【設計意圖】再現歐拉發現公式的全過程。在這次活動中，學生體會到了數學家對數學美的極致追求：精中求簡、以簡馭繁、返璞歸真。數學家與數學教師的區別在于，數學家是發現數學，數學教師則是教學生發現數學。在教師的引領下，師生共同探究，學生找到了新舊知識的銜接點，把不同模塊、不同片段的知識聯結在一起，成功地將五個常數集聚在一個等式中。這樣的深度思考，讓學生心靈深感震撼。

【鏈接高考真題】教師出示下面三道高考真題，引導學生作答。

【設計意圖】初等數學與高等數學關系密切，站在高等數學的高度看初等數學，更能看透高中數學知識的本質。如果用初等數學的知識解答上面三道題，需要構造同一變量的函數，思維量大，且只能在特定的條件下使用；運用泰勒公式前三項進行近似計算，方法直接，可稱為“通法”。推導歐拉公式的過程看似費時費力，但學生在推導過程中已經將泰勒公式深深烙印在腦海中，此時便能自覺地將知識遷移到新的情境中加以應用。這也是數學文化助力深度學習結出的果實，學生學習邁入了“不唯高考，卻贏得高考”的至高境界。

三、研后感悟

（一）在教學中滲透數學文化是增強文化自信和吸納西方優秀文化的有效途徑

教師要向學生傳播中華兒女在數學發展上的突出貢獻，從而使學生增強文化自信。例如，歐拉公式中的數π，中國古代數學家在計算上便領先于世。魏晉時期的數學家劉徽用圓接正多邊形的面積去無限逼近圓面積，建立了計算π的理論體系和嚴密的算法；祖沖之對π的計算達到小數點后第七位，這個成就比法國數學家韋達要早1100多年。二項展開式可用于 e 的近似計算，其系數就是楊輝三角，歐洲帕斯卡的發現要比楊輝晚393年，比賈憲要晚600年。

此外，教師也要向學生介紹西方數學人物和事件，讓學生以謙虛的態度學習西方的優秀文化，如學習他們公理化的邏輯體系、符號化的推理運算、以變量為基礎的微分學說以及對數學美的極致追求等，使學生在傳承和發揚中國優秀數學文化的基礎上，獲得西方崇尚理性的數學文化熏陶，形成重計算、有條理、依邏輯的思維品質。

（二）數學文化是學生從淺層學習走向深度學習的橋梁

無文化情境的學習是淺層的，是迫于外在壓力的被動學習，其記憶方式是機械的，知識體系是孤立的、點狀的和碎片化的，學習者缺少反思，遷移能力較差，是低階的思維活動。

章建躍博士指出：“教學要以知識發生發展的過程為線索，構建邏輯連貫前后一致的數學學習過程，對落實數學育人具有重要意義。”教師講好概念、公式和定理背后的生動故事，不僅有助于消除知識形成過程的神秘感，而且能使學生在情感上產生共鳴。學生可以根據自身需求主動參與課程學習，理解后再記憶知識；在積極的反思中，運用批判性思維，把不同模塊、不同片段的知識聯結在一起，將知識遷移到新的情境中加以應用。有了數學文化的引領，學生對知識的建構更具整體性，他們更容易抓住數學知識的本質和關鍵特征，他們此時進行的是高階的思維活動。因此，學生從淺層學習走向深度學習要靠數學文化這座橋梁來過渡。

（三）信息技術是再現數學文化內涵的支持工具

信息技術可以促進人們對數學文化的理解、宣傳、普及和研究；可以優化數學文化的呈現方式，獲得傳統教學手段難以獲得的效果；可以為學生理解數學知識創設情境，為學生重走數學家探索知識奧秘之路提供計算方面的便利以及圖形動態化展示。在本課中，教師利用計算機進行較大規模的計算，得出 e 的近似值；利用計算機把泰勒展開式背后的故事全程展現在學生面前，激發學生深度思考，提高了學生對用泰勒公式擬合一切函數的認可度，收到了很好的教學效果。

總之，在教學中滲透數學文化有利于學生進一步理解數學，激發學生學習數學的興趣，使他們感悟數學對社會發展的作用及其在科學研究中的廣泛應用。教師應在常態化的數學課堂中滲透數學文化，把看似難以言表的思想、精神和文化說出來，讓知識生成自然地發生，最終促成學生從淺層學習轉變為深度學習，讓核心素養培育在數學課堂上生根、發芽、結果，以達成數學教學的育人目標。

參考文獻

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[4]章建躍.核心素養導向的高中數學教材變革[J].中學數學教學參考，2019（9）.

作者簡介：李天紅（1966—），廣西全州人，高級教師，主要從事基于深度學習的高中數學單元學習主題教學案例研究；蔣曉云（1963—），通訊作者，廣西全州人，教授，主要從事數學教育和基礎教育研究。

（責編劉小瑗）