多項式型非自治迭代方程的凹凸解

陳燁明 曾瑩瑩

摘 要 ???：迭代是同一函數的重復運算. 比通常的迭代更復雜的是有不同函數參與運算的非自治迭代. 本文討論了一類包含非自治迭代的線性組合的函數方程， 即多項式型非自治迭代方程. 在前人給出的連續遞增解的基礎上，本文進一步研究了解的凹凸性， 給出了凹凸解的存在性、唯一性及連續依賴性.

關鍵詞 ：非自治迭代; 凸性; 差商

中圖分類號 ： O178 文獻標識碼 ：

A DOI ： ?10.19907/j.0490-6756.

2023.041005

Convex solutions of polynomial-like nonautonomous ?iterative equations

CHEN Ye-Ming ?1，ZENG Ying-Ying ?2

（1. School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China;

2. School of Mathematical Sciences/ V.C. & V.R. Key Lab of Sichuan Province， ??Sichuan Normal University， Chengdu 610068， China）

Iteration is repetition of same function. Iteration with different functions， called nonautonomous iteration， is a more complex one. In this paper， we consider a class of functional equations with linear combination of nonautonomous iterations， namely ?polynomial-like nonautonomous iterative equations. Based on some known results， the existence， uniqueness and continuous dependence of the convex solutions on the iterations and coefficients are studied.

Nonautonomous iteration; Convexity; Divided difference

（2010 MSC 26A18， 39B12）

1 引 言

迭代是運算的不斷自復合， 其在計算機科學與工程等領域有廣泛應用， 如機器人控制 ?［1］和圖像處理 ?［2］等. 從數學的角度看，對于一個自映射 f：X→X ， 其中 X 是非空集合，以及任意給定的自然數 n ， ?f 的 n 階迭代可遞歸地定義為 ?f ?n= f ?n-1°f， f ?0= id ?恒同映射 ， 其中 ° 表示映射的復合. 包含未知函數迭代的函數方程被稱為迭代方程 ?［3， 4］. 諸如迭代根問題 ?［5， 6］和不變曲線問題 ?［7， 8］等都是典型的迭代方程問題.

多項式型迭代方程

∑ ?n ?i=1 ?λ ??i f ??i（x）=F（x），x∈I ?（1）

也是廣受關注的一類迭代方程， 其中 I 是一個區間， 系數 ?λ ?i∈ ?R ?（ i=1，…，n ）且 F 為給定函數. 有關方程（1）解的結果十分豐富， 如連續遞增解 ?［9］、連續遞減解和凹凸解 ?［10］、可微解及解的穩定性 ?［3， 11， 12］等.

迭代過程是嚴格重復的. 最近，人們開始關注迭代過程不那么嚴格重復的非自治迭代問題，如工程應用中出現的迭代學習控制算法. 這是一種用于解決重復環境下動態系統的跟蹤問題的方法. 當系統輸出重復跟蹤參考軌跡時， 該算法利用上一次迭代的跟蹤誤差信息來更新當前的迭代控制輸入， 其中的迭代過程的參數……