KdV方程的一個六階空間精度守恒差分格式

郭禎 吳明明 胡勁松

本文對含齊次邊界條件的KdV方程的初邊值問題進行了數值研究. 通過在時間層進行二階精度的Crank-Nicolson差分離散、在空間層進行六階精度的外推組合差分離散，本文建立了一個具有六階空間精度的兩層非線性差分格式.該格式能夠合理地模擬原問題的兩個守恒量. 然后，本文利用能量方法證明了格式的收斂性和穩定性. 數值算例驗證了該方法的有效性.

KdV方程； Crank-Nicolson差分格式； 六階精度； 守恒

O241.82A2023.031006

收稿日期： 2022-06-30

基金項目： 國家自然科學基金青年基金（11701481）；四川應用基礎研究項目（2019JY0387）

作者簡介： 郭禎（1997-）， 女， 碩士研究生， 主要研究方向為計算數學. E-mail： gz2080118252@163.com

通訊作者： 胡勁松. E-mail： hjs888hjs@163.com

A conservative difference scheme with 6-order spatial accuracy for the KdV equation

GUO Zhen， WU Ming-Ming， HU Jin-Song

（School of Science， Xihua University， Chengdu 610039， China）

In this paper， we propose a two-level difference scheme with 6-order spatial accuracy for the initial boundary value problem of KdV equation with homogeneous boundary condition. In this scheme， the Crank-Nicolson differential dispersion with 2-order accuracy is used in the time layer and the discretization of space layer is performed by extrapolating difference combination with 6-order accuracy. This scheme can simulate two conservative properties of the original problem reasonably. Then the convergence and stability of the scheme are proved by using the energy method. Finally， numerical examples verify the performance of the scheme.

KdV equation; Crank-Nicolson difference scheme; 6-order accuracy; Conservation

（2010 MSC 65M60）

1 引 言

KdV方程［1］

ut+αuux+uxxx=0（1）

（其中α為非零實常數）是荷蘭數學家Korteweg和de Vires在研究淺水中的小振幅長波運動時提出的. 因具有無窮多個不變量，該方程在冷等離子體中的離子聲波、巖漿流與管道波、泡沫液體中的聲波及海洋內波等諸多研究領域有廣泛應用［2］. 作為一類典型的非線性色散波動方程，KdV方程少有解析解，這就使得對其數值解法的研究具有重要價值［3-12］.

本文考慮如下KdV方程的初邊值問題：

ut+αuux+uxxx=0，

x， t∈xL， xR×0， T（2）

ux， 0=u0x，x∈xL， xR（3）

uxL， t=uxR， t=0，

uxxR， t=0，t∈0， T（4）

郭 禎， 等： KdV方程的一個六階空間精度守恒差分格式

其中u0（x）是一個已知函數. 初邊值問題（2）～（4）滿足如下守恒律［13］：

Qt=∫xRxLux， tdx=

∫xRxLu0x， tdx=Q0（5）

Et=u2L2=u02L2=E0（6）

其中Q（0）與E（0）均為僅與初始條件有關的常數. 該方程是奇數階的，且沒有對稱性，故其數值求解有相當難度. 在已有的求解方法中，文獻［9］提出了精度為Oτ2+h的兩層非線性差分格式和三層線性差分格式，文獻［10］構造了具有二階……