基于面積坐標的四邊形雜交有限元法

高何金雨 張世全

摘 要 ???： 本文針對二維線彈性問題提出了一種基于面積坐標的新型雜交應力四邊形有限元法AGQ- LQ ?6. 該方法基于廣義Hellinger-Reissner變分原理，位移逼近采用含內部位移的四節點廣義協調元，應力逼近則采用九參數線性應力模式. 數值算例表明，本文構造的有限元既能保持面積坐標廣義協調元對網格畸變不敏感及粗網格精度較高的優點，又能有效克服泊松閉鎖現象.

關鍵詞 ：線彈性問題； 四邊形面積坐標方法； 雜交應力有限元； 泊松閉鎖現象

中圖分類號 ： O241.82 文獻標識碼 ：A DOI ： ?10.19907/j.0490-6756.2023.041002

A hybrid stress quadrilateral finite element method based on area coordinates

GAO He-Jin-Yu， ?ZHANG Shi-Quan

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

In this paper， we propose a new hybrid stress quadrilateral finite element method AGQ- LQ ?6 for the two-dimensional linear elasticity problems by using the area coordinates. In this method， a 4-node generalized conforming element with internal displacements for the displacement approximation and a 9-parameter linear stress mode for the stress approximation are adopted based on the generalized Hellinger-Reissner variational principle. Numerical experiments show that the method is insensitive to mesh distortion. Meanwhile， it is also shown that this method can keep high precision even under coarse mesh and avoid the so-called Poisson-locking phenomenon effectively.

Linear elasticity problem; Quadrilateral area coordinates; Hybrid stress finite element; Poisson-locking phenomenon

（2010 MSC 65M60）

1 引 言

上世紀六十年代以來，如何針對平面彈性問題構造具有較高精度的低階四邊形有限元成為工程計算領域的一個研究熱點. 其中，基于等參坐標的四邊形元法一直有廣泛的應用，其中最為典型的代表是4節點等參雙線性元. 然而，在一些標準的考核算例中，這種最低階的四邊形位移元的數值精度較低，對網格畸變敏感，并且會發生泊松閉鎖現象. 因此，在不增大計算規模的前提下，如何提高低階四邊形元的性能一直廣受關注.

1973年，Wilson等 ?［1］在等參雙線性元基礎上引入非協調內部位移，構造了計算精度更高的Wilson非協調元. 之后，Wilson等 ?［2］又對Wilson元進行了改進，使其在泊松閉鎖測試算例中也能算出一致收斂的結果. 此外，基于廣義變分原理的雜交應力有限元框架也是改進四邊形位移元的性能的有效途徑， 其中的H-R變分原理 ?［3，4］因為將位移和應力分別作為獨立變量的特點而……