一類非線性四階離散邊值問題正解的存在性

趙亞麗 陳天蘭

本文研究了非線性四階差分方程邊值問題

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2=2，3，…，T-1，u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0

正解的存在性，其中T≥4為固定的正整數，f：0，∞→0，∞連續.主要結果的證明基于Leray-Schauder不動點定理.

四階差分方程； 格林函數； Leray-Schauder不動點定理； 正解

O175.7A2023.031002

收稿日期： 2022-03-23

作者簡介： 趙亞麗（1997-）， 女， 甘肅定西人， 碩士研究生， 主要研究方向為差分方程及其應用.E-mail： zylZYL19970807@163.com

通訊作者： 陳天蘭. chentianlan511@126com

Existence of positive solutions for a class of fourth-order nonlinear discrete boundary value problems

ZHAO Ya-Li， CHEN Tian-Lan

（School of Mathematics and Statistics， Northwest Normal University， Lanzhou 730070， China）

In this paper， we study the existence of positive solutions for the nonlinear fourth-order difference equation boundary value problem

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2=2，3，…，T-1，u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0，

where T≥4 is a fixed positive integer，f：0，∞→0，∞ is continuous. The proof of the main results is based on the Leray-Schauder fixed point theorem.

Fourth-order difference equation； Greens function； Leray-Schauder fixed point theorem； Positive solution

（2010 MSC 34B15）

1 引 言

四階非線性差分方程在生態學、經濟學、人口動力學等領域有著廣泛應用，其邊值問題解的存在性廣受關注［1-8］. 例如，彈性梁方程就是通過不同邊界條件的四階非線性常微分方程來刻畫的. 近年來，對兩端簡單支撐以及一端簡單支撐另一端滑動支撐的彈性梁方程的解的存在性已有大量研究［4-6］.

本文的研究對象是邊界條件為u（0）=u′（0）=u′（1）=u″（0）=0的非線性四階常微分方程. 這是一類與彈性梁方程類似的方程. 據我們所知，對其邊值問題正解的存在性的研究比較少［9， 10］，對其離散形式解的存在性則從未被研究過. 這正是我們的研究目標. 令T≥4為一整數.記T0={0，1，…，T+1}，T1={1，2，…，T}，T2={2，3，…，T-1}. 我們將運用Leray-Schauder不動點定理來討論四階離散問題

趙亞麗， 等： 一類非線性四階離散邊值問題正解的存在性

Δ4u（t-2）+fu（t）=0，t∈T2??? （1）u（0）=Δu（0）=Δu（T）=Δ2u（0）=0? （2）

正解的存在性，并討論該問題所對應的線性問題Δ4u（t-2）+h（t）=0的格林函數的性質.

下面我們概述相關的一些研究.Lu等［4］和Ma等［5］分別運用分歧法和錐上的不動點指數理論研究了兩端簡單支撐的非線性四階離散問題

Δ4u（t-2）=λfu（t），t∈T3=2，3，…，T，u（1）=u（T+1）=Δ2u（0）=Δ2u（T）=0

正解的存在性，其中λ>0是參數，f：T3×［0，∞）→［0，∞）連續，且T≥5. He等［6］運用錐上的不動點定理研究了一端簡單支撐另一端滑動支撐的非線性……