小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的問題與對(duì)策

夏菲

隨著教育改革的推進(jìn)，我國(guó)的教育理念、模式及方法等都在不斷創(chuàng)新和改進(jìn)。現(xiàn)階段我國(guó)各階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，也越來(lái)越重視學(xué)生建模意識(shí)與能力的培養(yǎng)與提升。因此，將全新的理念、模式及方法等與數(shù)學(xué)建模思想結(jié)合起來(lái)，對(duì)于進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生獲得問題解決能力、思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，極具現(xiàn)實(shí)價(jià)值。本文以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型為切入點(diǎn)，分析了影響當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模實(shí)踐的影響因素，并從五個(gè)方面提出了有效對(duì)策，以期能夠提升當(dāng)前我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的效率與質(zhì)量，推動(dòng)我國(guó)教育改革的發(fā)展。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型存在的問題

現(xiàn)階段，我國(guó)各小學(xué)在落實(shí)建模教學(xué)過程中，存在的問題主要有以下三點(diǎn)：其一，以課堂知識(shí)呈現(xiàn)為主，忽視建模思想的滲透。以小學(xué)生解決問題中存在的不足為例：小明獲得了6個(gè)蘋果，還剩下3個(gè)蘋果，原來(lái)有多少個(gè)蘋果？這道題考查的是加法的意義，但是單說提綱，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生迷茫，究其原因是教師并未讓學(xué)生建立起明確的加法模型，學(xué)生不了解“部分+部分=總量”這一數(shù)學(xué)模型，因此，本來(lái)用6+3來(lái)解決的問題，學(xué)生就會(huì)在迷茫中用6-3解決。學(xué)生沒有強(qiáng)烈的建模思想與意識(shí)，就會(huì)用錯(cuò)誤的方式解決問題。其二，以活動(dòng)形式結(jié)論為主，忽視學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)。以“圓的周長(zhǎng)”部分知識(shí)為例，教師在教學(xué)中會(huì)先引導(dǎo)學(xué)生獲得周長(zhǎng)的測(cè)量方法，而在這個(gè)過程中，教師會(huì)要求學(xué)生通過某種方法或工具完成測(cè)量，這樣的過程看似是讓學(xué)生自主探究的過程，實(shí)際上是一種“強(qiáng)調(diào)式”的學(xué)習(xí)思維，學(xué)生最終知識(shí)的獲得以記憶為主，并非個(gè)人通過建模推導(dǎo)獲得。因此，數(shù)學(xué)建模趨于形式化的現(xiàn)象也比較突出。其三，以數(shù)學(xué)建模擬態(tài)為主，忽視與實(shí)際生活的關(guān)聯(lián)。以“垂直和平行”為例，教師往往會(huì)選用單雙杠等體育器具作為教學(xué)案例，就單從單雙杠的存在來(lái)講，確實(shí)是凸顯生活化的事物，但學(xué)生沒有在學(xué)習(xí)“垂直和平行”部分知識(shí)的過程中前往體驗(yàn)和獲得，就無(wú)法真正將建模思想與知識(shí)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用結(jié)合起來(lái)。因此，教師在建模教學(xué)中，還應(yīng)該盡可能打造可實(shí)踐性的生活化教學(xué)方法，以期強(qiáng)化學(xué)生建模意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)建模應(yīng)用。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的對(duì)策

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》中，將模型思想?yún)^(qū)分為“模型意識(shí)”與“模型觀念”兩個(gè)層次，將數(shù)學(xué)教學(xué)終極目標(biāo)確定為“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界”，并提出建模思想的構(gòu)建環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}情境—建立模型—解釋應(yīng)用。而在整個(gè)建模環(huán)節(jié)中，建立模型環(huán)節(jié)無(wú)疑是最重要最關(guān)鍵的，也是整個(gè)建模的核心，因此，如何有效引導(dǎo)學(xué)生建模，是教師亟須研究、實(shí)踐和解決的問題。

（一）引導(dǎo)學(xué)生自主探究，強(qiáng)化學(xué)生建模意識(shí)

H.Freudenthal曾經(jīng)認(rèn)為，學(xué)生完成數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)，唯一正確的、有效的方法就是學(xué)生進(jìn)行自主再創(chuàng)造。換言之，學(xué)生要獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，就需要不斷去進(jìn)行探索和尋找，以便于獲得正確的數(shù)學(xué)問題解決方法。

就以小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)“以分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”部分為例，教材的要求是引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)以下問題進(jìn)行探尋和解決：“將一塊西瓜的2/3平均劃分為3份，每一份西瓜是這塊西瓜的幾分之幾？”當(dāng)教師提出問題后，給予學(xué)生一定的時(shí)間去思考，先探究題干與問題之間的關(guān)系，并分析數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生以小組學(xué)習(xí)的形式進(jìn)行各種假設(shè)并提出以下觀點(diǎn)：學(xué)生甲認(rèn)為應(yīng)讓分子2和分母3同時(shí)除以整數(shù)3；學(xué)生乙認(rèn)為應(yīng)讓分子2除以整數(shù)3，分母3則保持不變；學(xué)生丙認(rèn)為應(yīng)將2/3化為小數(shù)0.67，再用0.67除以整數(shù)3；學(xué)生丁則認(rèn)為可以用分?jǐn)?shù)2/3乘以整數(shù)3的倒數(shù)，但其中究竟哪種想法是正確的？需要學(xué)生進(jìn)一步去思考和探索。因此，教師需要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行親自驗(yàn)證，讓學(xué)生在具體的操作中得出以下結(jié)論：其一，分母3不變，分子2除以整數(shù)3；其二，求出2/3的1/3，所以用2/3×3/1；其三，將2/3化為0.67，由0.67÷3=0.22，0.22=11/50。學(xué)生在陸續(xù)完成探究的過程中，逐漸發(fā)表自己的見解，推翻自我假設(shè)，提出新的假設(shè)，教師則在此基礎(chǔ)上進(jìn)行繼續(xù)深入的引導(dǎo)：如果是把這塊西瓜的2/3平分為4份、5份，甚至更多，每份是這塊西瓜的幾分之幾？這個(gè)過程中的假設(shè)、探究、問題解決等環(huán)節(jié)，從本質(zhì)上來(lái)講，是學(xué)生主動(dòng)性思維與個(gè)性化思維的應(yīng)用與提升，讓學(xué)生在算理感知、算法抽象及建模時(shí)獲得更多經(jīng)驗(yàn)的積累，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)與建模應(yīng)用有積極價(jià)值。

（二）鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，培養(yǎng)學(xué)生建模習(xí)慣

實(shí)踐操作對(duì)于學(xué)生而言，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中極重要的概念構(gòu)建起點(diǎn)與基礎(chǔ)，學(xué)生在完成實(shí)踐操作過程中，不僅需要具備具體的實(shí)際操作行為，還需要觀察、思考、接受、對(duì)比、交流溝通、問題解決等抽象的數(shù)學(xué)建模能力。

以小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)“平行四邊形的面積”部分為例，教師在組織學(xué)生進(jìn)行知識(shí)學(xué)習(xí)和掌握時(shí)，首先，需要為學(xué)生提供一定的動(dòng)手操作工具，即大小一致的透明方格紙張、大小一致的平行四邊形、剪刀、尺子等，讓學(xué)生基于現(xiàn)有的工具以不同的方式來(lái)計(jì)算出手里現(xiàn)有平行四邊形的面積。學(xué)生了解了教師的要求，明確了教學(xué)目的后，會(huì)基于紙張、平行四邊形等作出如下的假設(shè)：學(xué)生甲先對(duì)方格紙中的方格大小進(jìn)行測(cè)量，再將平行四邊形放置于透明方格紙之上，對(duì)平行四邊形進(jìn)行描邊，然后數(shù)一數(shù)方格的數(shù)量，以此來(lái)完成平行四邊形面積的計(jì)算；學(xué)生乙同樣對(duì)方格紙中的方格大小進(jìn)行測(cè)量，后將平行四邊形進(jìn)行裁剪，裁剪為一個(gè)長(zhǎng)方形與兩個(gè)全等三角形，先對(duì)長(zhǎng)方形進(jìn)行描邊，數(shù)格子，計(jì)算長(zhǎng)方形面積，在對(duì)三角形進(jìn)行拼接描邊，計(jì)算拼接后長(zhǎng)方形的面積，將兩個(gè)長(zhǎng)方形面積加起來(lái)，得到平行四邊形面積；學(xué)生丙觀察能力和思維能力更強(qiáng)，直接摒除用格子紙描邊數(shù)數(shù)的計(jì)算方法，將平行四邊形裁剪拼接為兩個(gè)長(zhǎng)方形，用尺子測(cè)量后計(jì)算兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和，得到平行四邊形面積；學(xué)生丁則直接將平行四邊形拼接為一個(gè)完整的長(zhǎng)方形，測(cè)量長(zhǎng)寬，計(jì)算面積，獲得平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過獨(dú)立思考、自主操作、小組合作討論、交流溝通、總結(jié)反思等方法，充分、深入地挖掘出了平行四邊形面積計(jì)算公式的由來(lái)及內(nèi)涵，為學(xué)生平行四邊形計(jì)算公式的建模提供了幫助與引導(dǎo)，這樣的實(shí)踐操作，既有效強(qiáng)化了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維，激發(fā)了學(xué)生的思考與探求，也將實(shí)踐活動(dòng)的內(nèi)在價(jià)值充分發(fā)揮了出來(lái)，使學(xué)生建模意識(shí)和建模應(yīng)用能力得到了綜合性提升。

（三）督促學(xué)生交流辨析，培養(yǎng)學(xué)生建模能力

任何知識(shí)的學(xué)習(xí)和獲得都是充滿曲折的過程，不是一帆風(fēng)順的，對(duì)于小學(xué)生而言，培養(yǎng)建模意識(shí)、獲得建模能力、學(xué)會(huì)建模應(yīng)用也是一個(gè)連續(xù)性的、連貫的、系統(tǒng)且充滿挫折的過程，這個(gè)過程中，需要學(xué)生借助交流溝通發(fā)現(xiàn)個(gè)中不足，并基于思維碰撞彌補(bǔ)這些不足，同時(shí)，也離不開教師的有效引導(dǎo)。

以小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)“小數(shù)乘小數(shù)”部分為例，學(xué)生需要完成以下問題的探究：有一塊長(zhǎng)2.2米，寬1.3米的長(zhǎng)方形模板，嘗試計(jì)算這塊模板的面積。教師可以讓學(xué)生以4人一組為單位，借助同比例的教學(xué)模具完成探索，最終得出結(jié)果。而在這個(gè)過程中，蘋果組的學(xué)生認(rèn)為2.2米就是22分米，1.3米就是13分米，因此，這塊模板的面積是22×13＝286平方分米，由分米換算為米，則這塊模板的面積是2.86平方米；香蕉組的學(xué)生認(rèn)為無(wú)論是小數(shù)乘法還是整數(shù)乘法，都可以通過列豎式的方式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，因此，直接列豎式22×13即可，此時(shí)得到的結(jié)果是這塊模板的面積是2.86平方米。教師不必急于對(duì)學(xué)生作出評(píng)價(jià)和引導(dǎo)，而是應(yīng)該采取以下辦法：第一步，讓每一個(gè)組選一名學(xué)生作為代表進(jìn)行發(fā)言，說一說本組成員的觀點(diǎn)、假設(shè)和得出的結(jié)論；第二步，讓小組成員再一次投入到交流溝通中去，在組內(nèi)比一比各組解決問題的辦法，選出最優(yōu)或最簡(jiǎn)練的解決方法；第三步，讓學(xué)生針對(duì)上述觀點(diǎn)發(fā)表是否認(rèn)同的看法。這一過程中，有的學(xué)生會(huì)覺得第一種方法繁雜一些，但結(jié)果是正確的；有的學(xué)生認(rèn)為第二種方法看似簡(jiǎn)練，但是容易忽視小數(shù)點(diǎn)……這樣交流辨析、活躍的過程，學(xué)生可以及時(shí)通過假設(shè)驗(yàn)證，推翻自我不切實(shí)際的假設(shè)，去偽存真，真正了解數(shù)學(xué)建模的價(jià)值。再結(jié)合教師行之有效的、適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，會(huì)讓學(xué)生更清晰、正確地對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)理算進(jìn)行了解和掌握，讓思維碰撞、觀點(diǎn)修正為學(xué)生的建模意識(shí)與應(yīng)用能力培養(yǎng)提供保障，引導(dǎo)學(xué)生自然而然、水到渠成地獲得建模思想，從而培養(yǎng)建模能力，提升學(xué)生的學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

（四）打造有效評(píng)價(jià)回顧，引導(dǎo)學(xué)生建模意識(shí)形成

探究的目的是解決問題，但問題是否解決，離不開后續(xù)的有效評(píng)價(jià)和回顧總結(jié)。因此，探究后的評(píng)價(jià)、反思、總結(jié)與回顧等環(huán)節(jié)，看似并非必要性環(huán)節(jié)，但在幫助學(xué)生記錄經(jīng)驗(yàn)、養(yǎng)成學(xué)生建模意識(shí)方面的作用也是不容忽視的。

以小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)“三角形內(nèi)角和”部分中的一道例題為例，如圖1所示，要求學(xué)生基于算和畫發(fā)現(xiàn)題中規(guī)律。學(xué)生在完成題目計(jì)算過程中不難發(fā)現(xiàn)：三角形、四邊形、五邊形乃至n邊形的內(nèi)角和都可以表示為180°×（n－2）這一數(shù)學(xué)建模公式。事實(shí)上，在此之前，教師都會(huì)通過或抽象的、概括的、推理的方式來(lái)引導(dǎo)學(xué)生來(lái)得出180°×（n－2）這一結(jié)論，但是這一結(jié)論的內(nèi)涵究竟是什么？如何基于建模思想得出結(jié)論？教師并不重視，甚至于諸如“為什么n邊形切割為三角形后，三角形的個(gè)數(shù)與n邊形邊數(shù)之間的差距為2”這樣的問題也不曾提出，或引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，學(xué)生也不了解為什么一個(gè)四邊形可以切割成兩個(gè)三角形，一個(gè)五邊形可以切割成三個(gè)三角形。這樣的現(xiàn)實(shí)狀況往往會(huì)造成學(xué)生難以理解建模思想，甚至無(wú)法培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)。但是，如果教師能夠組織有效的反思與回顧，就會(huì)發(fā)現(xiàn)自身教學(xué)實(shí)踐中的不足，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生參與反思，此時(shí)，如果教師再將“為什么將n邊形切割成三角形時(shí)，個(gè)數(shù)比n邊形邊數(shù)少2”這個(gè)問題提出，引發(fā)學(xué)生思考探究，學(xué)生就會(huì)再一次去進(jìn)行學(xué)習(xí)內(nèi)容的回歸，彌補(bǔ)不足的同時(shí)，強(qiáng)化自身的建模意識(shí)，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵與本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的綜合提升。

圖1

（五）引入生活實(shí)例教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行建模驗(yàn)證

當(dāng)人們脫離出學(xué)生身份，再以旁觀者的角度看待這個(gè)身份時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最大的不足之處在于，無(wú)法正視知識(shí)的學(xué)以致用。簡(jiǎn)言之，學(xué)生并不理解何為“數(shù)學(xué)來(lái)源于生活”。但是隨著教育改革的發(fā)展，當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)越來(lái)越強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的情境化和生活化。因此，教師在落實(shí)學(xué)生的建模意識(shí)培養(yǎng)過程中，需要結(jié)合生活實(shí)例完成教學(xué)知識(shí)整合，讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用中去區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)現(xiàn)象和數(shù)學(xué)實(shí)力，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)性質(zhì)之間的統(tǒng)一性、相似性與辯證性。當(dāng)然，教師在引導(dǎo)學(xué)生獲得全新的數(shù)學(xué)知識(shí)后，也需要留給學(xué)生足夠的獨(dú)立空間，讓學(xué)生自主完成數(shù)學(xué)知識(shí)驗(yàn)證，教師則需給予適度引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生在驗(yàn)證過程中發(fā)現(xiàn)和獲得拓展性數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而自主地創(chuàng)造問題，解決問題，不斷地強(qiáng)化自身建模意識(shí)，推翻假設(shè)、驗(yàn)證假設(shè)，得出正確的數(shù)學(xué)結(jié)論，并結(jié)合所掌握的數(shù)學(xué)規(guī)律，來(lái)解決生活中的數(shù)學(xué)問題。這一數(shù)學(xué)模型建構(gòu)形式，不僅是讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，也是讓學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)、勇于創(chuàng)新的過程。

以小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的“植樹問題”教學(xué)為例：一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？針對(duì)類似問題，教師就可以基于真實(shí)的戶外環(huán)境來(lái)進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，帶領(lǐng)學(xué)生前往青少年教育培訓(xùn)基地植樹，基于基地內(nèi)的樹木引出教學(xué)內(nèi)容和所需解決的問題，或者讓學(xué)生以小組為單位，在劃定的區(qū)域內(nèi)植樹。另外，教師還可以基于此類題型，開發(fā)其他相關(guān)的應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化建模意識(shí)。比如，讓學(xué)生以豎向兩排為要求進(jìn)行照明燈安裝；讓學(xué)生在指定面積的住宅內(nèi)進(jìn)行地板磚鋪設(shè)等。使學(xué)生基于植樹問題來(lái)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系，以便于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建起數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用之間的橋梁，讓學(xué)生在實(shí)際操作過程中將數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系于生活、應(yīng)用于生活，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)情境，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，建模意識(shí)與能力的培養(yǎng)，是當(dāng)前我國(guó)數(shù)學(xué)教育改革發(fā)展不可或缺的重要部分，值得廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師重視、實(shí)踐與研究，而基于“引導(dǎo)學(xué)生自主探究，強(qiáng)化學(xué)生建模意識(shí)”“鼓勵(lì)學(xué)生實(shí)踐操作，培養(yǎng)學(xué)生建模習(xí)慣”“督促學(xué)生交流辨析，培養(yǎng)學(xué)生建模能力”“打造有效評(píng)價(jià)回顧，引導(dǎo)學(xué)生建模意識(shí)形成”“引入生活實(shí)例教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行建模驗(yàn)證”五個(gè)方面的小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)問題優(yōu)化，希望能夠提高我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。